(3)若對(duì)任意且..試證明存在. 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

可以證明，對(duì)任意的n∈N*，有（1+2+…+n）2=13+23+…+n3成立．下面嘗試推廣該命題：
（1）設(shè)由三項(xiàng)組成的數(shù)列a1，a2，a3每項(xiàng)均非零，且對(duì)任意的n∈{1，2，3}有（a1+a2+…+an）2=a13+a23+…+an3成立，求所有滿足條件的數(shù)列；
（2）設(shè)數(shù)列{an}每項(xiàng)均非零，且對(duì)任意的n∈N*有（a1+a2+…+an）2=a13+a23+…+an3成立，數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn．求證：an+12-an+1=2Sn，n∈N*；
（3）是否存在滿足（2）中條件的無窮數(shù)列{an}，使得a2011=2009？若存在，寫出一個(gè)這樣的無窮數(shù)列（不需要證明它滿足條件）； 若不存在，說明理由．

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可以證明，對(duì)任意的n∈N*，有（1+2+…+n）2=13+23+…+n3成立．下面嘗試推廣該命題：
（1）設(shè)由三項(xiàng)組成的數(shù)列a1，a2，a3每項(xiàng)均非零，且對(duì)任意的n∈{1，2，3}有（a1+a2+…+an）2=a13+a23+…+an3成立，求所有滿足條件的數(shù)列；
（2）設(shè)數(shù)列{an}每項(xiàng)均非零，且對(duì)任意的n∈N*有（a1+a2+…+an）2=a13+a23+…+an3成立，數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn．求證：an+12-an+1=2Sn，n∈N*；
（3）是否存在滿足（2）中條件的無窮數(shù)列{an}，使得a2011=2009？若存在，寫出一個(gè)這樣的無窮數(shù)列（不需要證明它滿足條件）； 若不存在，說明理由．

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可以證明，對(duì)任意的n∈N*，有（1+2+…+n）2=13+23+…+n3成立．下面嘗試推廣該命題：
（1）設(shè)由三項(xiàng)組成的數(shù)列a1，a2，a3每項(xiàng)均非零，且對(duì)任意的n∈{1，2，3}有（a1+a2+…+an）2=a13+a23+…+an3成立，求所有滿足條件的數(shù)列；
（2）設(shè)數(shù)列{an}每項(xiàng)均非零，且對(duì)任意的n∈N*有（a1+a2+…+an）2=a13+a23+…+an3成立，數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn．求證：an+12-an+1=2Sn，n∈N*；
（3）是否存在滿足（2）中條件的無窮數(shù)列{an}，使得a2012=-2011？若存在，寫出一個(gè)這樣的無窮數(shù)列（不需要證明它滿足條件）； 若不存在，說明理由．

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定義數(shù)列{xn}，如果存在常數(shù)p，使對(duì)任意正整數(shù)n，總有（xn+1-p）（xn-p）＜0成立，那么我們稱數(shù)列{xn}為“p-擺動(dòng)數(shù)列”．
（1）設(shè)an=2n-1，數(shù)學(xué)公式，n∈N*，判斷{an}、{bn}是否為“p-擺動(dòng)數(shù)列”，并說明理由；
（2）設(shè)數(shù)列{cn}為“p-擺動(dòng)數(shù)列”，c1＞p，求證：對(duì)任意正整數(shù)m，n∈N*，總有c2n＜c2m-1成立；
（3）設(shè)數(shù)列{dn}的前n項(xiàng)和為Sn，且數(shù)學(xué)公式，試問：數(shù)列{dn}是否為“p-擺動(dòng)數(shù)列”，若是，求出p的取值范圍；若不是，說明理由．

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已知為兩個(gè)正數(shù)，且，設(shè)當(dāng)，時(shí)，．

（Ⅰ）求證：數(shù)列是遞減數(shù)列，數(shù)列是遞增數(shù)列；

（Ⅱ）求證：；

（Ⅲ）是否存在常數(shù)使得對(duì)任意，有，若存在，求出的取值范圍；若不存在，試說明理由．

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一、BDCBD    ACA CC    

二、                    ①④

三、16．解：（1）  

  即   

又為銳角       

 （2）

  又 代入上式得：（當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)等號(hào)成立。）

  （當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)等號(hào)成立。）

17．解：（1）由已知得 解得．設(shè)數(shù)列的公比為，

由，可得．又，可知，即，

解得． 由題意得．  ．故數(shù)列的通項(xiàng)為．

  （2）由于   由（1）得 

=

18．解：（1）因?yàn)?img src="http://pic.1010jiajiao.com/pic4/docfiles/down/test/down/f50a5c51324c748886fe905083c95269.zip/68731/湖北省襄陽高級(jí)2009年高三年級(jí)檢測(cè)試題（二）--數(shù)學(xué)文科.files/image195.gif" >     圖象的一條對(duì)稱軸是直線 

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    20081226
    （2）
      由得 
    分別令，得的單調(diào)增區(qū)間是（開閉區(qū)間均可）。
    （3）
列表如下：
    0
    0
    1
    0
    ―1
    0
    19．解：（I）由，則.
    兩式相減得.
即.           
    又時(shí)，.∴數(shù)列是首項(xiàng)為4，公比為2的等比數(shù)列. 
    （Ⅱ）由（I）知.∴             
    ①當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，
    ∴原不等式可化為，即.故不存在合條件的.       
    ②當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，.
    原不等式可化為，所以，又m為奇數(shù)，所以m=1,3,5……
    20．解：（1）依題意，得
    ∴
∴

       （2）令
    當(dāng)在此區(qū)間為增函數(shù)
    當(dāng)在此區(qū)間為減函數(shù)
    當(dāng)在此區(qū)間為增函數(shù)
    處取得極大值又
    因此，當(dāng)

    要使得不等式
    所以，存在最小的正整數(shù)k=2007，
    使得不等式恒成立�！�7分
      （3）（方法一）
         
    又∵∴由（2）知在為增函數(shù)，
    綜上可得
    （方法2）由（2）知，函數(shù)
    上是減函數(shù)，在[，1]上是增函數(shù)又
    所以，當(dāng)時(shí)，－

    又t>0，
    ，且函數(shù)上是增函數(shù)，
     
    綜上可得

    21．解：（1）  
    當(dāng)時(shí)，
    函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)。
       （2）假設(shè)存在，由①知拋物線的對(duì)稱軸為x＝－1，∴即  
    由②知對(duì),都有
    令得又因?yàn)?img  src="http://pic.1010jiajiao.com/pic4/docfiles/down/test/down/f50a5c51324c748886fe905083c95269.zip/68731/湖北省襄陽高級(jí)2009年高三年級(jí)檢測(cè)試題（二）--數(shù)學(xué)文科.files/image514.gif" >恒成立，  ，即，即
    由得， 
    當(dāng)時(shí)，，
    其頂點(diǎn)為（－1，0）滿足條件①，又對(duì),
    都有，滿足條件②�！啻嬖�，使同時(shí)滿足條件①、②。
       （3）令，則
    ，
    在內(nèi)必有一個(gè)實(shí)根。即，
    使成立。
     
     
     
     
     
    		
    
	
	
    
		
    


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