題目列表(包括答案和解析)
如圖是單位圓上的點,分別是圓與軸的兩交點,為正三角形.
(1)若點坐標為,求的值;
(2)若,四邊形的周長為,試將表示成的函數(shù),并求出的最大值.
【解析】第一問利用設
∵ A點坐標為∴ ,
(2)中 由條件知 AB=1,CD=2 ,
在中,由余弦定理得
∴
∵ ∴ ,
∴ 當時,即 當 時 , y有最大值5. .
如圖,在正四棱錐中,.
(1)求該正四棱錐的體積;
(2)設為側(cè)棱的中點,求異面直線與
所成角的大小.
【解析】第一問利用設為底面正方形中心,則為該正四棱錐的高由已知,可求得,
所以,
第二問設為中點,連結、,
可求得,,,
在中,由余弦定理,得
.
所以,
如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AC⊥AD,AB⊥BC,∠BAC=45°,PA=AD=2,AC=1.
(Ⅰ)證明PC⊥AD;
(Ⅱ)求二面角A-PC-D的正弦值;
(Ⅲ)設E為棱PA上的點,滿足異面直線BE與CD所成的角為30°,求AE的長.
【解析】解法一:如圖,以點A為原點建立空間直角坐標系,依題意得A(0,0,0),D(2,0,0),C(0,1,0), ,P(0,0,2).
(1)證明:易得,于是,所以
(2) ,設平面PCD的法向量,
則,即.不防設,可得.可取平面PAC的法向量于是從而.
所以二面角A-PC-D的正弦值為.
(3)設點E的坐標為(0,0,h),其中,由此得.
由,故
所以,,解得,即.
解法二:(1)證明:由,可得,又由,,故.又,所以.
(2)如圖,作于點H,連接DH.由,,可得.
因此,從而為二面角A-PC-D的平面角.在中,,由此得由(1)知,故在中,
因此所以二面角的正弦值為.
(3)如圖,因為,故過點B作CD的平行線必與線段AD相交,設交點為F,連接BE,EF. 故或其補角為異面直線BE與CD所成的角.由于BF∥CD,故.在中,故
在中,由,,
可得.由余弦定理,,
所以.
如圖,點P為斜三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱BB1上一點,PM⊥BB1交AA1于點M,PN⊥BB1交CC1于點N.
(1)求證:CC1⊥MN.
(2)在任意△DEF中,有由余弦定理DE2=DF2+EF2-2DF·EFcos∠DFE,拓展到空間,類比三角形的余弦定理,寫出一個斜三棱柱的三個側(cè)面積與其中兩個側(cè)面所成的二面角之間的關系式,并加以證明.
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