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某公司全年的利潤(rùn)為b元，其中一部分作為獎(jiǎng)金發(fā)給n位職工，獎(jiǎng)金分配方案如下:首先將職工按工作業(yè)績(jī)(工作業(yè)績(jī)均不相同)從大到小，由1到n排序，第1位職工得獎(jiǎng)金元，然后再將余額除以n發(fā)給第2位職工，按此方法將獎(jiǎng)金逐一發(fā)給每位職工，并將最后剩余部分作為公司發(fā)展基金.
(1)設(shè)a_k(1≤k≤n)為第k位職工所得獎(jiǎng)金金額，試求a₂,a₃，并用k、n和b表示a_k(不必證明)；
(2)證明a_k＞a_k+1(k=1,2,…,n－1),并解釋此不等式關(guān)于分配原則的實(shí)際意義；
(3)發(fā)展基金與n和b有關(guān)，記為P_n(b),對(duì)常數(shù)b，當(dāng)n變化時(shí)，求P_n(b).

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21.某公司全年的純利潤(rùn)為b元，其中一部分作為獎(jiǎng)金發(fā)給n位職工.獎(jiǎng)金分配方案如下：首先將職工按工作業(yè)績(jī)（工作業(yè)績(jī)均不相同）從大到小.由1至n排序，第1位職工得獎(jiǎng)金元，然后再將余額除以n發(fā)給第2位職工，按此方法將獎(jiǎng)金逐一發(fā)給每位職工.并將最后剩余部分作為公司發(fā)展基金.

 

（1）設(shè)a_k（1≤k≤n）為第k位職工所得獎(jiǎng)金額，試求a₂、a₃，并用k、n和b表示a_k ；（不必證明）

 

（2）證明a _k＞a _k＋1(k＝1，2，…，n－1)，并解釋此不等式關(guān)于分配原則的實(shí)際意義；

 

（3）發(fā)展基金與n和b有關(guān)，記為P_n（b）.對(duì)常數(shù)b，當(dāng)n變化時(shí)，求P_n（b）.

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某公司全年的純利潤(rùn)為b元，其中一部分作為獎(jiǎng)金發(fā)給n位職工.獎(jiǎng)金分配方案如下：首先將職工按工作業(yè)績(jī)（工作業(yè)績(jī)均不相同）從大到小.由1至n排序，第1位職工得獎(jiǎng)金元，然后再將余額除以n發(fā)給第2位職工，按此方法將獎(jiǎng)金逐一發(fā)給每位職工.并將最后剩余部分作為公司發(fā)展基金.

（Ⅰ）設(shè)a_k（1≤k≤n）為第k位職工所得獎(jiǎng)金額，試求a₂、a₃，并用k、n和b表示a_k；（不必證明）

（Ⅱ）證明a_k＞a_k＋1（k=1，2，…，n－1），并解釋此不等式關(guān)于分配原則的實(shí)際意義；

（Ⅲ）發(fā)展基金與n和b有關(guān)，記為P_n（b）．對(duì)常數(shù)b，當(dāng)n變化時(shí)，求P_n（b）．

 

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難點(diǎn)磁場(chǎng)

解：(1)設(shè)f(x)=a(x－)²－，由f(1)=0得a=1.

∴f(x)=x²－(t+2)x+t+1.

(2)將f(x)=(x－1)［x－(t+1)］代入已知得：

(x－1)［x－(t+1)］g(x)+a_nx+b_n=xⁿ⁺¹，上式對(duì)任意的x∈R都成立，取x=1和x=t+1分別代入上式得：

且t≠0，解得a_n=［(t+1)ⁿ⁺¹－1］，b_n=［1－(t+1ⁿ)

(3)由于圓的方程為(x－a_n)²+(y－b_n)²=r_n²，又由(2)知a_n+b_n=1，故圓C_n的圓心O_n在直線x+y=1上，又圓C_n與圓C_n+1相切，故有r_n+r_n+1=｜a_n+1－a_n｜=(t+1)ⁿ⁺¹?

設(shè){r_n}的公比為q，則

                                                                        ②÷①得q==t+1，代入①得r_n=

∴S_n=π(r₁²+r₂²+…+r_n²)=［(t+1)²ⁿ－1］

殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練

一、1.解析：當(dāng)a=n時(shí)y=n(n+1)x²－(2n+1)x+1

由｜x₁－x₂｜=，得d_n=，∴d₁+d₂+…+d_n

答案：A

二、2.解析：由1,x₁,x₂,4依次成等差數(shù)列得：2x₁=x₂+1,x₁+x₂=5解得x₁=2,x₂=3.又由1，y₁,y₂,8依次成等比數(shù)列，得y₁²=y₂,y₁y₂=8,解得y₁=2,y₂=4,

∴P₁(2,2),P₂(3,4).∴=(3,4)

∴

答案：1

3.解析：第一次容器中有純酒精a－b即a(1－)升，第二次有純酒精a(1－)－，即a(1－)²升，故第n次有純酒精a(1－)ⁿ升.

答案：a(1－)ⁿ

4.解析：從2001年到2005年每年的國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值構(gòu)成以95933為首項(xiàng)，以7.3%為公比的等比數(shù)列，∴a₅=95933(1+7.3%)⁴≈120000(億元).

答案：120000

三、

5.解：(1)由題意得rq^n－1+rqⁿ＞rqⁿ⁺¹.由題設(shè)r＞0,q＞0,故從上式可得：q²－q－1＜0，解得＜q＜,因q＞0,故0＜q＜;

(2)∵.b₁=1+r≠0，所以{b_n}是首項(xiàng)為1+r，公比為q的等比數(shù)列，從而b_n=(1+r)q^n-1.

當(dāng)q=1時(shí)，S_n=n(1+r),

,從上式可知，當(dāng)n－20.2＞0，即n≥21(n∈N^*)時(shí)，C_n隨n的增大而減小，故

1＜C_n≤C₂₁=1+=2.25                                                                  ①

當(dāng)n－20.2＜0，即n≤20(n∈N^*)時(shí)，C_n也隨n的增大而減小，故1＞C_n≥C₂₀=1+=－4                                                                                       ②

綜合①②兩式知，對(duì)任意的自然數(shù)n有C₂₀≤C_n≤C₂₁,故{C_n}的最大項(xiàng)C₂₁=2.25，最小項(xiàng)C₂₀=－4.

6.解：(1)第1位職工的獎(jiǎng)金a₁=，第2位職工的獎(jiǎng)金a₂=(1－)b，第3位職工的獎(jiǎng)金a₃=(1－)²b，…，第k位職工的獎(jiǎng)金a_k= (1－)^k－1b;

(2)a_k－a_k+1=(1－)^k－1b＞0，此獎(jiǎng)金分配方案體現(xiàn)了“按勞分配”或“不吃大鍋飯”的原則.

(3)設(shè)f_k(b)表示獎(jiǎng)金發(fā)給第k位職工后所剩余數(shù)，則f₁(b)=(1－)b,f₂(b)=(1－)²b,…,f_k(b)=(1－)^kb.得P_n(b)=f_n(b)=(1－)ⁿb,

故.

7.解：設(shè)a_n表示第n年的廢舊物資回收量，S_n表示前n年廢舊物資回收總量，則數(shù)列{a_n}是以10為首項(xiàng)，1+20%為公比的等比數(shù)列.

(1)a₆=10(1+20%)⁵=10×1.2⁵=24.8832≈25(萬(wàn)噸)

(2)S₆==99.2992≈99.3(萬(wàn)噸)

∴從1996年到2000年共節(jié)約開(kāi)采礦石20×99.3≈1986(萬(wàn)噸)

(3）由于從1996年到2001年共減少工業(yè)廢棄垃圾4×99.3=397.2(萬(wàn)噸)，

∴從1996年到2001年共節(jié)約：

≈3 平方公里.

8.解：(1)當(dāng)n≥3時(shí)，x_n=;

由此推測(cè)a_n=(－)^n-1a(n∈N)

證法一：因?yàn)?i>a₁=a＞0,且

 (n≥2)

所以a_n=(－)^n-1a.

證法二：用數(shù)學(xué)歸納法證明：

(?)當(dāng)n=1時(shí)，a₁=x₂－x₁=a=(－)⁰a,公式成立；

(?)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，公式成立，即a_k=(－)^k－1a成立.

那么當(dāng)n=k+1時(shí)，

a_k+1=x_k+2－x_k+1=

據(jù)(?)(?)可知，對(duì)任意n∈N，公式a_n=(－)^n-1a成立.

(3)當(dāng)n≥3時(shí)，有x_n=(x_n－x_n－1)+(x_n－1－x_n－2)+…+(x₂－x₁)+x₁

=a_n－1+a_n－2+…+a₁,

由(2)知{a_n}是公比為－的等比數(shù)列，所以a.