設數列{a_n}的各項都是正數，且對任意n∈N^*，都有a₁³+a₂³+a₃³+…+=S_n²，其中S_n為數列{a_n}的前n項和．
（I）求證：a_n²=2S_n-a_n；
（II）求數列{a_n}的通項公式；
（III）若b_n=3ⁿ+（-1）^n-1λ•2^a_n（λ為非零常數，n∈N^*），問是否存在整數λ，使得對任意n∈N^*，都有b_n+1＞b_n，若存在，求出λ的值；若不存在，說明理由．

若數列{b_n}：對于n∈N^*，都有b_n+2-b_n=d（常數），則稱數列{b_n}是公差為d的準等差數列．如：若c_n=是公差為8的準等差數列．
（I）設數列{a_n}滿足：a₁=a，對于n∈N^*，都有a_n+a_n+1=2n．求證：{a_n}為準等差數列，并求其通項公式：
（Ⅱ）設（I）中的數列{a_n}的前n項和為S_n，試研究：是否存在實數a，使得數列S_n有連續(xù)的兩項都等于50．若存在，請求出a的值；若不存在，請說明理由．

設數列{a_n}的各項都是正數，且對任意n∈N^*，都有a₁³+a₂³+a₃³+…+=S_n²，其中S_n為數列{a_n}的前n項和．
（I）求證：a_n²=2S_n-a_n；
（II）求數列{a_n}的通項公式；
（III）若b_n=3ⁿ+（-1）^n-1λ•2^a_n（λ為非零常數，n∈N^*），問是否存在整數λ，使得對任意n∈N^*，都有b_n+1＞b_n，若存在，求出λ的值；若不存在，說明理由．

若數列{a_n}滿足a_n+2+pa_n+1+qa_n=0（其中p²+q²≠0，且p、q為常數）對任意n∈N^*都成立，則我們把數列{a_n}稱為“L型數列”．
（1）試問等差數列{a_n}、等比數列{b_n}（公比為r）是否為L型數列？若是，寫出對應p、q的值；若不是，說明理由．
（2）已知L型數列{a_n}滿足a_n+1+pa_n+qa_n-1=0（n≥2，n∈N^*，p²-4q＞0，q≠0），x₁、x₂是方程x²+px+q=0的兩根，若b-ax_i≠0（i=1，2），求證：數列{a_n+1-x_ia_n}（i=1，2，n∈N^*）是等比數列（只選其中之一加以證明即可）．
（3）請你提出一個關于L型數列的問題，并加以解決．（本小題將根據所提問題的普適性給予不同的分值，最高10分）