設(shè)數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)都是正數(shù)，且對(duì)任意n∈N^*，都有a₁³+a₂³+a₃³+…+=S_n²，其中S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和．
（I）求證：a_n²=2S_n-a_n；
（II）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（III）若b_n=3ⁿ+（-1）^n-1λ•2^a_n（λ為非零常數(shù)，n∈N^*），問是否存在整數(shù)λ，使得對(duì)任意n∈N^*，都有b_n+1＞b_n，若存在，求出λ的值；若不存在，說明理由．

若數(shù)列{b_n}：對(duì)于n∈N^*，都有b_n+2-b_n=d（常數(shù)），則稱數(shù)列{b_n}是公差為d的準(zhǔn)等差數(shù)列．如：若c_n=是公差為8的準(zhǔn)等差數(shù)列．
（I）設(shè)數(shù)列{a_n}滿足：a₁=a，對(duì)于n∈N^*，都有a_n+a_n+1=2n．求證：{a_n}為準(zhǔn)等差數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式：
（Ⅱ）設(shè)（I）中的數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，試研究：是否存在實(shí)數(shù)a，使得數(shù)列S_n有連續(xù)的兩項(xiàng)都等于50．若存在，請(qǐng)求出a的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

設(shè)數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)都是正數(shù)，且對(duì)任意n∈N^*，都有a₁³+a₂³+a₃³+…+=S_n²，其中S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和．
（I）求證：a_n²=2S_n-a_n；
（II）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（III）若b_n=3ⁿ+（-1）^n-1λ•2^a_n（λ為非零常數(shù)，n∈N^*），問是否存在整數(shù)λ，使得對(duì)任意n∈N^*，都有b_n+1＞b_n，若存在，求出λ的值；若不存在，說明理由．

若數(shù)列{a_n}滿足a_n+2+pa_n+1+qa_n=0（其中p²+q²≠0，且p、q為常數(shù)）對(duì)任意n∈N^*都成立，則我們把數(shù)列{a_n}稱為“L型數(shù)列”．
（1）試問等差數(shù)列{a_n}、等比數(shù)列{b_n}（公比為r）是否為L型數(shù)列？若是，寫出對(duì)應(yīng)p、q的值；若不是，說明理由．
（2）已知L型數(shù)列{a_n}滿足a_n+1+pa_n+qa_n-1=0（n≥2，n∈N^*，p²-4q＞0，q≠0），x₁、x₂是方程x²+px+q=0的兩根，若b-ax_i≠0（i=1，2），求證：數(shù)列{a_n+1-x_ia_n}（i=1，2，n∈N^*）是等比數(shù)列（只選其中之一加以證明即可）．
（3）請(qǐng)你提出一個(gè)關(guān)于L型數(shù)列的問題，并加以解決．（本小題將根據(jù)所提問題的普適性給予不同的分值，最高10分）