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如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體AC₁中，E、F分別為A₁D₁和A₁B₁的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求平面BDD₁與平面BFC₁所成的銳二面角的余弦值；
（Ⅱ）若點(diǎn)P在正方形ABCD內(nèi)部或其邊界上，且EP∥平面BFC₁，求EP的最大值、最小值．

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如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體AC₁中，E、F分別為A₁D₁和A₁B₁的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求平面BDD₁與平面BFC₁所成的銳二面角的余弦值；
（Ⅱ）若點(diǎn)P在正方形ABCD內(nèi)部或其邊界上，且EP∥平面BFC₁，求EP的最大值、最小值．

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如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體AC₁中，E、F分別為A₁D₁和A₁B₁的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求平面BDD₁與平面BFC₁所成的銳二面角的余弦值；
（Ⅱ）若點(diǎn)P在正方形ABCD內(nèi)部或其邊界上，且EP∥平面BFC₁，求EP的最大值、最小值．

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如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體AC₁中，E、F分別為A₁D₁和A₁B₁的中點(diǎn)．
（1）求異面直線AF和BE所成的角的余弦值：
（2）求平面ACC₁與平面BFC₁所成的銳二面角：
（3）若點(diǎn)P在正方形ABCD內(nèi)部或其邊界上，且EP∥平面BFC₁，求EP的取值范圍．

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1．解：依題設(shè)有：     ………………………………………4分

 令，則           …………………………………………5分

           …………………………………………7分

  ………………………………10分

2．解：以有點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為軸正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，兩坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位．（1），，由得．

所以．

即為圓的直角坐標(biāo)方程．  ……………………………………3分

同理為圓的直角坐標(biāo)方程． ……………………………………6分

（2）由　　　　　　

相減得過(guò)交點(diǎn)的直線的直角坐標(biāo)方程為． …………………………10分

3．（必做題）（本小題滿(mǎn)分10分）

解：（1）記“恰好選到1個(gè)曾經(jīng)參加過(guò)數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)活動(dòng)的同學(xué)”為事件的, 則其概率為                …………………………………………4分

    答：恰好選到1個(gè)曾經(jīng)參加過(guò)數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)活動(dòng)的同學(xué)的概率為

（2）隨機(jī)變量

                        ……………………5分

                   …………………………6分

                  ………………………………7分

∴隨機(jī)變量的分布列為

2

3

4

P

∴                    …………………………10分

4．（必做題）（本小題滿(mǎn)分10分）

（1），，，  ，

              ……………………………………3分

（2）平面BDD₁的一個(gè)法向量為

設(shè)平面BFC₁的法向量為

∴

取得平面BFC₁的一個(gè)法向量

  ∴所求的余弦值為    ……6分

（3）設(shè)（）

，由得

即，

當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)，∴   ……………………………………10分