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已知橢圓E的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1的兩條漸近線為l₁和l₂，過(guò)橢圓E的右焦點(diǎn)F作直線l，使得l⊥l₂于點(diǎn)C，又l與l₁交于點(diǎn)P，l與橢圓E的兩個(gè)交點(diǎn)從上到下依次為A，B（如圖）．
（1）當(dāng)直線l₁的傾斜角為30°，雙曲線的焦距為8時(shí)，求橢圓的方程；
（2）設(shè)

PA

=λ1

AF

，

PB

=λ2

BF

，證明：λ₁+λ₂為常數(shù)．

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已知橢圓G：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

2

2

，右焦點(diǎn)F（1，0）．過(guò)點(diǎn)F作斜率為k（k≠0）的直線l，交橢圓G于A、B兩點(diǎn)，M（2，0）是一個(gè)定點(diǎn)．如圖所示，連AM、BM，分別交橢圓G于C、D兩點(diǎn)（不同于A、B），記直線CD的斜率為k₁．
（Ⅰ）求橢圓G的方程；
（Ⅱ）在直線l的斜率k變化的過(guò)程中，是否存在一個(gè)常數(shù)λ，使得k₁=λk恒成立？若存在，求出這個(gè)常數(shù)λ；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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已知橢圓

x2

a2

+

y2

a2

=1(a＞b＞0)的離心率為

2

2

，右焦點(diǎn)為F（1，0），直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)F且與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求橢圓的方程；
（2）若P是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求|PO|²+|PF|²的最大值和最小值；
（3）當(dāng)直線l繞點(diǎn)F轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，試問(wèn)：在x軸上是否存在定點(diǎn)S，使

SA

•

SB

為常數(shù)，若存在，求出定點(diǎn)S的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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1．解：依題設(shè)有：     ………………………………………4分

 令，則           …………………………………………5分

           …………………………………………7分

  ………………………………10分

2．解：以有點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為軸正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，兩坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位．（1），，由得．

所以．

即為圓的直角坐標(biāo)方程．  ……………………………………3分

同理為圓的直角坐標(biāo)方程． ……………………………………6分

（2）由　　　　　　

相減得過(guò)交點(diǎn)的直線的直角坐標(biāo)方程為． …………………………10分

3．（必做題）（本小題滿分10分）

解：（1）記“恰好選到1個(gè)曾經(jīng)參加過(guò)數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)活動(dòng)的同學(xué)”為事件的, 則其概率為                …………………………………………4分

    答：恰好選到1個(gè)曾經(jīng)參加過(guò)數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)活動(dòng)的同學(xué)的概率為

（2）隨機(jī)變量

                        ……………………5分

                   …………………………6分

                  ………………………………7分

∴隨機(jī)變量的分布列為

2

3

4

P

∴                    …………………………10分

4．（必做題）（本小題滿分10分）

（1），，，  ，

              ……………………………………3分

（2）平面BDD₁的一個(gè)法向量為

設(shè)平面BFC₁的法向量為

∴

取得平面BFC₁的一個(gè)法向量

  ∴所求的余弦值為    ……6分

（3）設(shè)（）

，由得

即，

當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)，∴   ……………………………………10分