題目列表(包括答案和解析)
在距地面高為H處,從t=0時刻物體開始自由下落,已知物體的質(zhì)量為m,選地面為零勢能參考面
(1)物體的動能Eh隨時間t變化的規(guī)律,用圖中的哪個圖象表示才是正確的(。
(2)物體的重力勢能Ep隨時間t變化的規(guī)律,用圖中的哪一個圖象表示才是正確的(。
(3)物體的機(jī)械能E=Ek+Ep隨時間t變化的規(guī)律,用圖中的哪一個圖象表示才是正確的(。
(1)物體的動能Eh隨時間t變化的規(guī)律,用圖中的哪個圖象表示才是正確的(。
(2)物體的重力勢能Ep隨時間t變化的規(guī)律,用圖中的哪一個圖象表示才是正確的(。
(3)物體的機(jī)械能E=Ek+Ep隨時間t變化的規(guī)律,用圖中的哪一個圖象表示才是正確的( )
第三部分 運(yùn)動學(xué)
第一講 基本知識介紹
一. 基本概念
1. 質(zhì)點
2. 參照物
3. 參照系——固連于參照物上的坐標(biāo)系(解題時要記住所選的是參照系,而不僅是一個點)
4.絕對運(yùn)動,相對運(yùn)動,牽連運(yùn)動:v絕=v相+v牽
二.運(yùn)動的描述
1.位置:r=r(t)
2.位移:Δr=r(t+Δt)-r(t)
3.速度:v=limΔt→0Δr/Δt.在大學(xué)教材中表述為:v=dr/dt, 表示r對t 求導(dǎo)數(shù)
5.以上是運(yùn)動學(xué)中的基本物理量,也就是位移、位移的一階導(dǎo)數(shù)、位移的二階導(dǎo)數(shù)?墒
三階導(dǎo)數(shù)為什么不是呢?因為牛頓第二定律是F=ma,即直接和加速度相聯(lián)系。(a對t的導(dǎo)數(shù)叫“急動度”。)
6.由于以上三個量均為矢量,所以在運(yùn)算中用分量表示一般比較好
三.等加速運(yùn)動
v(t)=v0+at r(t)=r0+v0t+1/2 at2
一道經(jīng)典的物理問題:二次世界大戰(zhàn)中物理學(xué)家曾經(jīng)研究,當(dāng)大炮的位置固定,以同一速度v0沿各種角度發(fā)射,問:當(dāng)飛機(jī)在哪一區(qū)域飛行之外時,不會有危險?(注:結(jié)論是這一區(qū)域為一拋物線,此拋物線是所有炮彈拋物線的包絡(luò)線。此拋物線為在大炮上方h=v2/2g處,以v0平拋物體的軌跡。)
練習(xí)題:
一盞燈掛在離地板高l2,天花板下面l1處。燈泡爆裂,所有碎片以同樣大小的速度v 朝各個方向飛去。求碎片落到地板上的半徑(認(rèn)為碎片和天花板的碰撞是完全彈性的,即切向速度不變,法向速度反向;碎片和地板的碰撞是完全非彈性的,即碰后靜止。)
四.剛體的平動和定軸轉(zhuǎn)動
1. 我們講過的圓周運(yùn)動是平動而不是轉(zhuǎn)動
2. 角位移φ=φ(t), 角速度ω=dφ/dt , 角加速度ε=dω/dt
3. 有限的角位移是標(biāo)量,而極小的角位移是矢量
4. 同一剛體上兩點的相對速度和相對加速度
兩點的相對距離不變,相對運(yùn)動軌跡為圓弧,VA=VB+VAB,在AB連線上
投影:[VA]AB=[VB]AB,aA=aB+aAB,aAB=,anAB+,aτAB, ,aτAB垂直于AB,,anAB=VAB2/AB
例:A,B,C三質(zhì)點速度分別VA ,VB ,VC
求G的速度。
五.課后習(xí)題:
一只木筏離開河岸,初速度為V,方向垂直于岸邊,航行路線如圖。經(jīng)過時間T木筏劃到路線上標(biāo)有符號處。河水速度恒定U用作圖法找到在2T,3T,4T時刻木筏在航線上的確切位置。
五、處理問題的一般方法
(1)用微元法求解相關(guān)速度問題
例1:如圖所示,物體A置于水平面上,A前固定一滑輪B,高臺上有一定滑輪D,一根輕繩一端固定在C點,再繞過B、D,BC段水平,當(dāng)以恒定水平速度v拉繩上的自由端時,A沿水平面前進(jìn),求當(dāng)跨過B的兩段繩子的夾角為α?xí)r,A的運(yùn)動速度。
(vA=)
(2)拋體運(yùn)動問題的一般處理方法
(1)將斜上拋運(yùn)動分解為水平方向的勻速直線運(yùn)動和豎直方向的豎直上拋運(yùn)動
(2)將沿斜面和垂直于斜面方向作為x、y軸,分別分解初速度和加速度后用運(yùn)動學(xué)公式解題
(3)將斜拋運(yùn)動分解為沿初速度方向的斜向上的勻速直線運(yùn)動和自由落體運(yùn)動兩個分運(yùn)動,用矢量合成法則求解
例2:在擲鉛球時,鉛球出手時距地面的高度為h,若出手時的速度為V0,求以何角度擲球時,水平射程最遠(yuǎn)?最遠(yuǎn)射程為多少?
(α=、 x=)
第二講 運(yùn)動的合成與分解、相對運(yùn)動
(一)知識點點撥
參考系的轉(zhuǎn)換:動參考系,靜參考系
相對運(yùn)動:動點相對于動參考系的運(yùn)動
絕對運(yùn)動:動點相對于靜參考系統(tǒng)(通常指固定于地面的參考系)的運(yùn)動
牽連運(yùn)動:動參考系相對于靜參考系的運(yùn)動
(5)位移合成定理:SA對地=SA對B+SB對地
速度合成定理:V絕對=V相對+V牽連
加速度合成定理:a絕對=a相對+a牽連
(二)典型例題
(1)火車在雨中以30m/s的速度向南行駛,雨滴被風(fēng)吹向南方,在地球上靜止的觀察者測得雨滴的徑跡與豎直方向成21。角,而坐在火車?yán)锍丝涂吹接甑蔚膹桔E恰好豎直方向。求解雨滴相對于地的運(yùn)動。
提示:矢量關(guān)系入圖
答案:83.7m/s
(2)某人手拿一只停表,上了一次固定樓梯,又以不同方式上了兩趟自動扶梯,為什么他可以根據(jù)測得的數(shù)據(jù)來計算自動扶梯的臺階數(shù)?
提示:V人對梯=n1/t1
V梯對地=n/t2
V人對地=n/t3
V人對地= V人對梯+ V梯對地
答案:n=t2t3n1/(t2-t3)t1
(3)某人駕船從河岸A處出發(fā)橫渡,如果使船頭保持跟河岸垂直的方向航行,則經(jīng)10min后到達(dá)正對岸下游120m的C處,如果他使船逆向上游,保持跟河岸成а角的方向航行,則經(jīng)過12.5min恰好到達(dá)正對岸的B處,求河的寬度。
提示:120=V水*600
D=V船*600
答案:200m
(4)一船在河的正中航行,河寬l=100m,流速u=5m/s,并在距船s=150m的下游形成瀑布,為了使小船靠岸時,不至于被沖進(jìn)瀑布中,船對水的最小速度為多少?
提示:如圖船航行
答案:1.58m/s
(三)同步練習(xí)
1.一輛汽車的正面玻璃一次安裝成與水平方向傾斜角為β1=30°,另一次安裝成傾角為β2=15°。問汽車兩次速度之比為多少時,司機(jī)都是看見冰雹都是以豎直方向從車的正面玻璃上彈開?(冰雹相對地面是豎直下落的)
2、模型飛機(jī)以相對空氣v=39km/h的速度繞一個邊長2km的等邊三角形飛行,設(shè)風(fēng)速u = 21km/h ,方向與三角形的一邊平行并與飛機(jī)起飛方向相同,試求:飛機(jī)繞三角形一周需多少時間?
3.圖為從兩列蒸汽機(jī)車上冒出的兩股長幅氣霧拖尾的照片(俯視)。兩列車沿直軌道分別以速度v1=50km/h和v2=70km/h行駛,行駛方向如箭頭所示,求風(fēng)速。
4、細(xì)桿AB長L ,兩端分別約束在x 、 y軸上運(yùn)動,(1)試求桿上與A點相距aL(0< a <1)的P點運(yùn)動軌跡;(2)如果vA為已知,試求P點的x 、 y向分速度vPx和vPy對桿方位角θ的函數(shù)。
(四)同步練習(xí)提示與答案
1、提示:利用速度合成定理,作速度的矢量三角形。答案為:3。
2、提示:三角形各邊的方向為飛機(jī)合速度的方向(而非機(jī)頭的指向);
第二段和第三段大小相同。
參見右圖,顯然:
v2 = + u2 - 2v合ucos120°
可解出 v合 = 24km/h 。
答案:0.2hour(或12min.)。
3、提示:方法與練習(xí)一類似。答案為:3
4、提示:(1)寫成參數(shù)方程后消參數(shù)θ。
(2)解法有講究:以A端為參照, 則桿上各點只繞A轉(zhuǎn)動。但鑒于桿子的實際運(yùn)動情形如右圖,應(yīng)有v牽 = vAcosθ,v轉(zhuǎn) = vA,可知B端相對A的轉(zhuǎn)動線速度為:v轉(zhuǎn) + vAsinθ= 。
P點的線速度必為 = v相
所以 vPx = v相cosθ+ vAx ,vPy = vAy - v相sinθ
答案:(1) + = 1 ,為橢圓;(2)vPx = avActgθ ,vPy =(1 - a)vA
第十部分 磁場
第一講 基本知識介紹
《磁場》部分在奧賽考剛中的考點很少,和高考要求的區(qū)別不是很大,只是在兩處有深化:a、電流的磁場引進(jìn)定量計算;b、對帶電粒子在復(fù)合場中的運(yùn)動進(jìn)行了更深入的分析。
一、磁場與安培力
1、磁場
a、永磁體、電流磁場→磁現(xiàn)象的電本質(zhì)
b、磁感強(qiáng)度、磁通量
c、穩(wěn)恒電流的磁場
*畢奧-薩伐爾定律(Biot-Savart law):對于電流強(qiáng)度為I 、長度為dI的導(dǎo)體元段,在距離為r的點激發(fā)的“元磁感應(yīng)強(qiáng)度”為dB 。矢量式d= k,(d表示導(dǎo)體元段的方向沿電流的方向、為導(dǎo)體元段到考查點的方向矢量);或用大小關(guān)系式dB = k結(jié)合安培定則尋求方向亦可。其中 k = 1.0×10?7N/A2 。應(yīng)用畢薩定律再結(jié)合矢量疊加原理,可以求解任何形狀導(dǎo)線在任何位置激發(fā)的磁感強(qiáng)度。
畢薩定律應(yīng)用在“無限長”直導(dǎo)線的結(jié)論:B = 2k ;
*畢薩定律應(yīng)用在環(huán)形電流垂直中心軸線上的結(jié)論:B = 2πkI ;
*畢薩定律應(yīng)用在“無限長”螺線管內(nèi)部的結(jié)論:B = 2πknI 。其中n為單位長度螺線管的匝數(shù)。
2、安培力
a、對直導(dǎo)體,矢量式為 = I;或表達(dá)為大小關(guān)系式 F = BILsinθ再結(jié)合“左手定則”解決方向問題(θ為B與L的夾角)。
b、彎曲導(dǎo)體的安培力
⑴整體合力
折線導(dǎo)體所受安培力的合力等于連接始末端連線導(dǎo)體(電流不變)的的安培力。
證明:參照圖9-1,令MN段導(dǎo)體的安培力F1與NO段導(dǎo)體的安培力F2的合力為F,則F的大小為
F =
= BI
= BI
關(guān)于F的方向,由于ΔFF2P∽ΔMNO,可以證明圖9-1中的兩個灰色三角形相似,這也就證明了F是垂直MO的,再由于ΔPMO是等腰三角形(這個證明很容易),故F在MO上的垂足就是MO的中點了。
證畢。
由于連續(xù)彎曲的導(dǎo)體可以看成是無窮多元段直線導(dǎo)體的折合,所以,關(guān)于折線導(dǎo)體整體合力的結(jié)論也適用于彎曲導(dǎo)體。(說明:這個結(jié)論只適用于勻強(qiáng)磁場。)
⑵導(dǎo)體的內(nèi)張力
彎曲導(dǎo)體在平衡或加速的情形下,均會出現(xiàn)內(nèi)張力,具體分析時,可將導(dǎo)體在被考查點切斷,再將被切斷的某一部分隔離,列平衡方程或動力學(xué)方程求解。
c、勻強(qiáng)磁場對線圈的轉(zhuǎn)矩
如圖9-2所示,當(dāng)一個矩形線圈(線圈面積為S、通以恒定電流I)放入勻強(qiáng)磁場中,且磁場B的方向平行線圈平面時,線圈受安培力將轉(zhuǎn)動(并自動選擇垂直B的中心軸OO′,因為質(zhì)心無加速度),此瞬時的力矩為
M = BIS
幾種情形的討論——
⑴增加匝數(shù)至N ,則 M = NBIS ;
⑵轉(zhuǎn)軸平移,結(jié)論不變(證明從略);
⑶線圈形狀改變,結(jié)論不變(證明從略);
*⑷磁場平行線圈平面相對原磁場方向旋轉(zhuǎn)α角,則M = BIScosα ,如圖9-3;
證明:當(dāng)α = 90°時,顯然M = 0 ,而磁場是可以分解的,只有垂直轉(zhuǎn)軸的的分量Bcosα才能產(chǎn)生力矩…
⑸磁場B垂直O(jiān)O′軸相對線圈平面旋轉(zhuǎn)β角,則M = BIScosβ ,如圖9-4。
證明:當(dāng)β = 90°時,顯然M = 0 ,而磁場是可以分解的,只有平行線圈平面的的分量Bcosβ才能產(chǎn)生力矩…
說明:在默認(rèn)的情況下,討論線圈的轉(zhuǎn)矩時,認(rèn)為線圈的轉(zhuǎn)軸垂直磁場。如果沒有人為設(shè)定,而是讓安培力自行選定轉(zhuǎn)軸,這時的力矩稱為力偶矩。
二、洛侖茲力
1、概念與規(guī)律
a、 = q,或展開為f = qvBsinθ再結(jié)合左、右手定則確定方向(其中θ為與的夾角)。安培力是大量帶電粒子所受洛侖茲力的宏觀體現(xiàn)。
b、能量性質(zhì)
由于總垂直與確定的平面,故總垂直 ,只能起到改變速度方向的作用。結(jié)論:洛侖茲力可對帶電粒子形成沖量,卻不可能做功。或:洛侖茲力可使帶電粒子的動量發(fā)生改變卻不能使其動能發(fā)生改變。
問題:安培力可以做功,為什么洛侖茲力不能做功?
解說:應(yīng)該注意“安培力是大量帶電粒子所受洛侖茲力的宏觀體現(xiàn)”這句話的確切含義——“宏觀體現(xiàn)”和“完全相等”是有區(qū)別的。我們可以分兩種情形看這個問題:(1)導(dǎo)體靜止時,所有粒子的洛侖茲力的合力等于安培力(這個證明從略);(2)導(dǎo)體運(yùn)動時,粒子參與的是沿導(dǎo)體棒的運(yùn)動v1和導(dǎo)體運(yùn)動v2的合運(yùn)動,其合速度為v ,這時的洛侖茲力f垂直v而安培力垂直導(dǎo)體棒,它們是不可能相等的,只能說安培力是洛侖茲力的分力f1 = qv1B的合力(見圖9-5)。
很顯然,f1的合力(安培力)做正功,而f不做功(或者說f1的正功和f2的負(fù)功的代數(shù)和為零)。(事實上,由于電子定向移動速率v1在10?5m/s數(shù)量級,而v2一般都在10?2m/s數(shù)量級以上,致使f1只是f的一個極小分量。)
☆如果從能量的角度看這個問題,當(dāng)導(dǎo)體棒放在光滑的導(dǎo)軌上時(參看圖9-6),導(dǎo)體棒必獲得動能,這個動能是怎么轉(zhuǎn)化來的呢?
若先將導(dǎo)體棒卡住,回路中形成穩(wěn)恒的電流,電流的功轉(zhuǎn)化為回路的焦耳熱。而將導(dǎo)體棒釋放后,導(dǎo)體棒受安培力加速,將形成感應(yīng)電動勢(反電動勢)。動力學(xué)分析可知,導(dǎo)體棒的最后穩(wěn)定狀態(tài)是勻速運(yùn)動(感應(yīng)電動勢等于電源電動勢,回路電流為零)。由于達(dá)到穩(wěn)定速度前的回路電流是逐漸減小的,故在相同時間內(nèi)發(fā)的焦耳熱將比導(dǎo)體棒被卡住時少。所以,導(dǎo)體棒動能的增加是以回路焦耳熱的減少為代價的。
2、僅受洛侖茲力的帶電粒子運(yùn)動
a、⊥時,勻速圓周運(yùn)動,半徑r = ,周期T =
b、與成一般夾角θ時,做等螺距螺旋運(yùn)動,半徑r = ,螺距d =
這個結(jié)論的證明一般是將分解…(過程從略)。
☆但也有一個問題,如果將分解(成垂直速度分量B2和平行速度分量B1 ,如圖9-7所示),粒子的運(yùn)動情形似乎就不一樣了——在垂直B2的平面內(nèi)做圓周運(yùn)動?
其實,在圖9-7中,B1平行v只是一種暫時的現(xiàn)象,一旦受B2的洛侖茲力作用,v改變方向后就不再平行B1了。當(dāng)B1施加了洛侖茲力后,粒子的“圓周運(yùn)動”就無法達(dá)成了。(而在分解v的處理中,這種局面是不會出現(xiàn)的。)
3、磁聚焦
a、結(jié)構(gòu):見圖9-8,K和G分別為陰極和控制極,A為陽極加共軸限制膜片,螺線管提供勻強(qiáng)磁場。
b、原理:由于控制極和共軸膜片的存在,電子進(jìn)磁場的發(fā)散角極小,即速度和磁場的夾角θ極小,各粒子做螺旋運(yùn)動時可以認(rèn)為螺距彼此相等(半徑可以不等),故所有粒子會“聚焦”在熒光屏上的P點。
4、回旋加速器
a、結(jié)構(gòu)&原理(注意加速時間應(yīng)忽略)
b、磁場與交變電場頻率的關(guān)系
因回旋周期T和交變電場周期T′必相等,故 =
c、最大速度 vmax = = 2πRf
5、質(zhì)譜儀
速度選擇器&粒子圓周運(yùn)動,和高考要求相同。
第二講 典型例題解析
一、磁場與安培力的計算
【例題1】兩根無限長的平行直導(dǎo)線a、b相距40cm,通過電流的大小都是3.0A,方向相反。試求位于兩根導(dǎo)線之間且在兩導(dǎo)線所在平面內(nèi)的、與a導(dǎo)線相距10cm的P點的磁感強(qiáng)度。
【解說】這是一個關(guān)于畢薩定律的簡單應(yīng)用。解題過程從略。
【答案】大小為8.0×10?6T ,方向在圖9-9中垂直紙面向外。
【例題2】半徑為R ,通有電流I的圓形線圈,放在磁感強(qiáng)度大小為B 、方向垂直線圈平面的勻強(qiáng)磁場中,求由于安培力而引起的線圈內(nèi)張力。
【解說】本題有兩種解法。
方法一:隔離一小段弧,對應(yīng)圓心角θ ,則弧長L = θR 。因為θ →
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