在空間四邊形ABCP中.PA⊥PC.PB⊥BC.AC⊥BC.PA.PB與平面ABC所成角分別為30°和45°.(1)直線PC與AB能否垂直?證明你的結論,(2)若點P到平面ABC的距離為h.求點P到直線AB的距離. 解析:主要考查直線與直線.直線與平面的位置關系的綜合應用及線面角.點面間距離等概念應用.空間想象力及推理能力. 解 (1)AB與PC不能垂直.證明如下:假設PC⊥AB.作PH⊥平面ABC于H.則HC是PC在平面ABC的射影.∴HC⊥AB.∵PA.PB在平面ABC的射影分別為HB.HA.PB⊥BC.PA⊥PC. ∴BH⊥BC.AH⊥AC ∵AC⊥BC.∴平行四邊形ACBH為矩形. ∵HC⊥AB.∴ACBH為正方形. ∴HB＝HA ∵PH⊥平面ACBH.∴ΔPHB≌ΔPHA. ∴∠PBH＝∠PAH.且PB.PA與平面ABC所成角分別為∠PBH.∠PAH.由已知∠PBH＝45°.∠PAH＝30°.與∠PBH＝∠PAH矛盾. ∴PC不垂直于AB. (2)由已知有PH＝h,∴∠PBH＝45° ∴BH＝PH＝h.∵∠PAH＝30°.∴HA＝h. ∴矩形ACBH中.AB＝＝＝2h. 作HE⊥AB于E.∴HE＝＝＝h. ∵PH⊥平面ACBH.HE⊥AB. 由三垂線定理有PE⊥AB.∴PE是點P到AB的距離. 在RtΔPHE中.PE＝＝＝h. 即點P到AB距離為h. 評析:此題屬開放型命題.處理此類問題的方法是先假設結論成立.然后“執(zhí)果索因 .作推理分析.導出矛盾的就否定結論.導不出矛盾的.就說明與條件相容.可采用演繹法進行推理.此題(1)屬于反證法. 【
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