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橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，焦距為2，F(xiàn)₁、F₂分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，直線過(guò)點(diǎn)且垂直于橢圓的長(zhǎng)軸，動(dòng)直線垂直于點(diǎn)，線段垂直平分線交于點(diǎn)
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程。
（2）過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)作斜率為1的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，求的面積。
（3）設(shè)軌跡與軸交于點(diǎn)，不同的兩點(diǎn)在軌跡上，
滿足求證：直線恒過(guò)軸上的定點(diǎn)。

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已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是F₁（-c，0）、F₂（c，0），Q是橢圓外的動(dòng)點(diǎn)，滿足，點(diǎn)P是線段F₁Q與該橢圓的交點(diǎn)，點(diǎn)T在線段F₂Q上，并且滿足，。

（1）設(shè)x為點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，證明；
（2）求點(diǎn)T的軌跡C的方程；
（3）試問(wèn)：在點(diǎn)T的軌跡C上，是否存在點(diǎn)M， 使△F₁MF₂的面積S=b²。若存在，求∠F₁MF₂的正切值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

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已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是F₁（-c，0）、F₂（c，0），Q是橢圓外的動(dòng)點(diǎn)，滿足，點(diǎn)P是線段F₁Q與該橢圓的交點(diǎn)，點(diǎn)T在線段F₂Q上，并且滿足，。

（1）設(shè)x為點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，證明；
（2）求點(diǎn)T的軌跡C的方程；
（3）試問(wèn)：在點(diǎn)T的軌跡C上，是否存在點(diǎn)M， 使△F₁MF₂的面積S=b²。若存在，求∠F₁MF₂的正切值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

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一、選擇題：

1―5：BABDD            6―10:BABDC             11―12:AC

二、填空題：

13、1                   14、                     15、                  16、①③④

三、解答題：

17、解：（Ⅰ）         ……………………（2分）

即    即

………………………………………………………………（4分）

由于，故…………………………………………………（6分）

(Ⅱ)由知，

…………………………………………………………（8分）

…………（10分）

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取得最大值.

所以的最大值為，此時(shí)為等腰三角形.

18、解析：（1）抽取的4根鋼管中恰有2根長(zhǎng)度相同的概率為：

……………………………………………………………………（3分）

（2）新焊接成鋼管的長(zhǎng)度的可能值有7種，最短的可能值為5m，最長(zhǎng)的可能值為11m.

當(dāng)=5m與=11m時(shí)的概率為；

當(dāng)=6m與=10m時(shí)的概率為；tesoon

當(dāng)=7m與=9m時(shí)的概率為；

當(dāng)=8m時(shí)的概率為.…………………………………………（9分）

的分布列為：

5

6

7

8

9

10

11

…………………………（12分）

19、（1）圓，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在圓上，故當(dāng)且僅當(dāng)直線過(guò)圓心C時(shí)滿足.

圓心坐標(biāo)為（1，1），…………………………………………………………（3分）

（2）由，消去可得.

得………………①

設(shè)，則……………………………………（5分）

，即=0.

又，，即.

.

故…………………………………………………………………………（9分）

又（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取=）

   即………………②

由①②知，

直線的傾斜角取值范圍為：…………………………………………………（12分）

20、解：（1）設(shè)，

（）在[-1,1]上是增函數(shù)………………………………………（3分）

（2），解得：…………………………（7分）

（3）對(duì)所有恒成立，等價(jià)于的最大值不大于.

又在[-1,1]上是增函數(shù)，在[-1,1]上的最大值為

即,得，

設(shè)，是關(guān)于的一次函數(shù)，要使恒成立，

只需即可，解得：或或.

21、解析：（1）設(shè)

在處有極值，即

在點(diǎn)（0，-3）處的切線平行于即

故…………………………………………………………………（4分）

（2）設(shè)

又時(shí)，(遞減)

時(shí)，（遞增）

曲線上任意兩點(diǎn)的連線的斜率恒大于.

解不等式得.

或…………………………………………………………（8分）

（3）設(shè)，則，時(shí)為[0,1]上的增函數(shù)

的值域是[-4. ].…………………………（12分）

22、解析：（1）圓與彼此外切，令為圓的半徑，

即，

兩邊平方并化簡(jiǎn)得，

由題意得，圓的半徑，

即……………………………………………………………………（5分）

數(shù)列是以為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列，

所以即.………………………………………………（8分）

（2），……………………………………………………（10分）

因?yàn)?sub>

…………………………………………………（12分）

所以………………………………………………………………………………（14分）

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