1. 解:設(shè),且.則有.即得 解得. 查看更多

 

題目列表(包括答案和解析)

已知數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列,,且、成等比數(shù)列。

⑴求數(shù)列的通項公式;

⑵設(shè),求數(shù)列的前項和。

【解析】第一問中利用等差數(shù)列的首項為,公差為d,則依題意有:

第二問中,利用第一問的結(jié)論得到數(shù)列的通項公式,

,利用裂項求和的思想解決即可。

 

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在四棱錐中,平面,底面為矩形,.

(Ⅰ)當(dāng)時,求證:;

(Ⅱ)若邊上有且只有一個點,使得,求此時二面角的余弦值.

【解析】第一位女利用線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理得到。當(dāng)a=1時,底面ABCD為正方形,

又因為,………………2分

,得證。

第二問,建立空間直角坐標(biāo)系,則B(1,0,1)D(0,a,0)C(1,a,0)P(0,0,1)……4分

設(shè)BQ=m,則Q(1,m,0)(0《m《a》

要使,只要

所以,即………6分

由此可知時,存在點Q使得

當(dāng)且僅當(dāng)m=a-m,即m=a/2時,BC邊上有且只有一個點Q,使得

由此知道a=2,  設(shè)平面POQ的法向量為

,所以    平面PAD的法向量

的大小與二面角A-PD-Q的大小相等所以

因此二面角A-PD-Q的余弦值為

解:(Ⅰ)當(dāng)時,底面ABCD為正方形,

又因為,………………3分

(Ⅱ) 因為AB,AD,AP兩兩垂直,分別以它們所在直線為X軸、Y軸、Z軸建立坐標(biāo)系,如圖所示,

則B(1,0,1)D(0,a,0)C(1,a,0)P(0,0,1)…………4分

設(shè)BQ=m,則Q(1,m,0)(0《m《a》要使,只要

所以,即………6分

由此可知時,存在點Q使得

當(dāng)且僅當(dāng)m=a-m,即m=a/2時,BC邊上有且只有一個點Q,使得由此知道a=2,

設(shè)平面POQ的法向量為

,所以    平面PAD的法向量

的大小與二面角A-PD-Q的大小相等所以

因此二面角A-PD-Q的余弦值為

 

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已知點為圓上的動點,且不在軸上,軸,垂足為,線段中點的軌跡為曲線,過定點任作一條與軸不垂直的直線,它與曲線交于兩點。

(I)求曲線的方程;

(II)試證明:在軸上存在定點,使得總能被軸平分

【解析】第一問中設(shè)為曲線上的任意一點,則點在圓上,

,曲線的方程為

第二問中,設(shè)點的坐標(biāo)為,直線的方程為,  ………………3分   

代入曲線的方程,可得 

,∴

確定結(jié)論直線與曲線總有兩個公共點.

然后設(shè)點,的坐標(biāo)分別, ,則,  

要使軸平分,只要得到。

(1)設(shè)為曲線上的任意一點,則點在圓上,

,曲線的方程為.  ………………2分       

(2)設(shè)點的坐標(biāo)為,直線的方程為,  ………………3分   

代入曲線的方程,可得 ,……5分            

,∴,

∴直線與曲線總有兩個公共點.(也可根據(jù)點M在橢圓的內(nèi)部得到此結(jié)論)

………………6分

設(shè)點,的坐標(biāo)分別, ,則,   

要使軸平分,只要,            ………………9分

,,        ………………10分

也就是,

,即只要  ………………12分  

當(dāng)時,(*)對任意的s都成立,從而總能被軸平分.

所以在x軸上存在定點,使得總能被軸平分

 

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已知是等差數(shù)列,其前n項和為Sn是等比數(shù)列,且,.

(Ⅰ)求數(shù)列的通項公式;

(Ⅱ)記,證明).

【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為d,等比數(shù)列的公比為q.

,得,.

由條件,得方程組,解得

所以,.

(2)證明:(方法一)

由(1)得

     ①

   ②

由②-①得

,

(方法二:數(shù)學(xué)歸納法)

①  當(dāng)n=1時,,故等式成立.

②  假設(shè)當(dāng)n=k時等式成立,即,則當(dāng)n=k+1時,有:

   

   

,因此n=k+1時等式也成立

由①和②,可知對任意成立.

 

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研究問題:“已知關(guān)于x的不等式ax2-bx+c>0,解集為(1,2),解關(guān)于x的不等式cx2-bx+a>0”有如下解法:
解:由cx2-bx+a>0且x≠0,所以
(c×2-bx+a)
x2
>0得a(
1
x
2-
b
x
+c>0,設(shè)
1
x
=y,得ay2-by+c>0,由已知得:1<y<2,即1<
1
x
<2,∴
1
2
<x<1所以不等式cx2-bx+a>0的解集是(
1
2
,1).
參考上述解法,解決如下問題:已知關(guān)于x的不等式
b
(x+a)
+
(x+c)
(x+d)
<0的解集是:(-3,-1)∪(2,4),則不等式
bx
(ax-1)
+
(cx-1)
(dx-1)
<0的解集是
(-
1
2
,-
1
4
)∪(
1
3
,1)
(-
1
2
,-
1
4
)∪(
1
3
,1)

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