題目列表(包括答案和解析)
已知函數(shù).(
)
(1)若在區(qū)間
上單調(diào)遞增,求實數(shù)
的取值范圍;
(2)若在區(qū)間上,函數(shù)
的圖象恒在曲線
下方,求
的取值范圍.
【解析】第一問中,首先利用在區(qū)間
上單調(diào)遞增,則
在區(qū)間
上恒成立,然后分離參數(shù)法得到
,進而得到范圍;第二問中,在區(qū)間
上,函數(shù)
的圖象恒在曲線
下方等價于
在區(qū)間
上恒成立.然后求解得到。
解:(1)在區(qū)間
上單調(diào)遞增,
則在區(qū)間
上恒成立. …………3分
即,而當
時,
,故
.
…………5分
所以.
…………6分
(2)令,定義域為
.
在區(qū)間上,函數(shù)
的圖象恒在曲線
下方等價于
在區(qū)間
上恒成立.
∵ …………9分
① 若,令
,得極值點
,
,
當,即
時,在(
,+∞)上有
,此時
在區(qū)間
上是增函數(shù),并且在該區(qū)間上有
,不合題意;
當,即
時,同理可知,
在區(qū)間
上遞增,
有,也不合題意;
…………11分
② 若,則有
,此時在區(qū)間
上恒有
,從而
在區(qū)間
上是減函數(shù);
要使在此區(qū)間上恒成立,只須滿足
,
由此求得的范圍是
. …………13分
綜合①②可知,當時,函數(shù)
的圖象恒在直線
下方.
已知
(1)求函數(shù)在
上的最小值
(2)對一切的恒成立,求實數(shù)a的取值范圍
(3)證明對一切,都有
成立
【解析】第一問中利用
當
時,
在
單調(diào)遞減,在
單調(diào)遞增
,當
,即
時,
,
第二問中,,則
設
,
則,
單調(diào)遞增,
,
,
單調(diào)遞減,
,因為對一切
,
恒成立,
第三問中問題等價于證明,
,
由(1)可知,
的最小值為
,當且僅當x=
時取得
設,
,則
,易得
。當且僅當x=1時取得.從而對一切
,都有
成立
解:(1)當
時,
在
單調(diào)遞減,在
單調(diào)遞增
,當
,即
時,
,
…………4分
(2),則
設
,
則,
單調(diào)遞增,
,
,
單調(diào)遞減,
,因為對一切
,
恒成立,
…………9分
(3)問題等價于證明,
,
由(1)可知,
的最小值為
,當且僅當x=
時取得
設,
,則
,易得
。當且僅當x=1時取得.從而對一切
,都有
成立
設函數(shù)f(x)=在[1,+∞
上為增函數(shù).
(1)求正實數(shù)a的取值范圍;
(2)比較的大小,說明理由;
(3)求證:(n∈N*, n≥2)
【解析】第一問中,利用
解:(1)由已知:,依題意得:
≥0對x∈[1,+∞
恒成立
∴ax-1≥0對x∈[1,+∞恒成立 ∴a-1≥0即:a≥1
(2)∵a=1 ∴由(1)知:f(x)=在[1,+∞)上為增函數(shù),
∴n≥2時:f()=
(3) ∵ ∴
已知函數(shù)在
取得極值
(1)求的單調(diào)區(qū)間(用
表示);
(2)設,
,若存在
,使得
成立,求
的取值范圍.
【解析】第一問利用
根據(jù)題意在
取得極值,
對參數(shù)a分情況討論,可知
當即
時遞增區(qū)間:
遞減區(qū)間:
,
當即
時遞增區(qū)間:
遞減區(qū)間:
,
第二問中, 由(1)知:
在
,
,
在
從而求解。
解:
…..3分
在
取得極值,
……………………..4分
(1) 當即
時 遞增區(qū)間:
遞減區(qū)間:
,
當即
時遞增區(qū)間:
遞減區(qū)間:
,
………….6分
(2) 由(1)知:
在
,
,
在
……………….10分
, 使
成立
得:
已知函數(shù)的最小值為0,其中
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)若對任意的有
≤
成立,求實數(shù)
的最小值;
(Ⅲ)證明(
).
【解析】(1)解:
的定義域為
由,得
當x變化時,,
的變化情況如下表:
x |
|
|
|
|
- |
0 |
+ |
|
|
極小值 |
|
因此,在
處取得最小值,故由題意
,所以
(2)解:當時,取
,有
,故
時不合題意.當
時,令
,即
令,得
①當時,
,
在
上恒成立。因此
在
上單調(diào)遞減.從而對于任意的
,總有
,即
在
上恒成立,故
符合題意.
②當時,
,對于
,
,故
在
上單調(diào)遞增.因此當取
時,
,即
不成立.
故不合題意.
綜上,k的最小值為.
(3)證明:當n=1時,不等式左邊==右邊,所以不等式成立.
當時,
在(2)中取,得
,
從而
所以有
綜上,,
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