已知，設(shè)和是方程的兩個(gè)根，不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立；函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn).求使“P且Q”為真命題的實(shí)數(shù)的取值范圍.

【解析】本試題主要考查了命題和函數(shù)零點(diǎn)的運(yùn)用。由題設(shè)x₁＋x₂＝a，x₁x₂＝－2，

∴|x₁－x₂|＝＝.

當(dāng)a∈[1,2]時(shí)，的最小值為3. 當(dāng)a∈[1,2]時(shí)，的最小值為3.

要使|m－5|≤|x₁－x₂|對(duì)任意實(shí)數(shù)a∈[1,2]恒成立，只須|m－5|≤3，即2≤m≤8.

由已知，得f(x)＝3x²＋2mx＋m＋＝0的判別式

Δ＝4m²－12(m＋)＝4m²－12m－16>0，

得m<－1或m>4.

可得到要使“P∧Q”為真命題，只需P真Q真即可。

解：由題設(shè)x₁＋x₂＝a，x₁x₂＝－2，

∴|x₁－x₂|＝＝.

當(dāng)a∈[1,2]時(shí)，的最小值為3.

要使|m－5|≤|x₁－x₂|對(duì)任意實(shí)數(shù)a∈[1,2]恒成立，只須|m－5|≤3，即2≤m≤8.

由已知，得f(x)＝3x²＋2mx＋m＋＝0的判別式

Δ＝4m²－12(m＋)＝4m²－12m－16>0，

得m<－1或m>4.

綜上，要使“P∧Q”為真命題，只需P真Q真，即

解得實(shí)數(shù)m的取值范圍是(4,8]

 

解：（Ⅰ）設(shè)：，其半焦距為．則：．

　　　由條件知，得．

　　　的右準(zhǔn)線(xiàn)方程為，即．

　　　的準(zhǔn)線(xiàn)方程為．

　　　由條件知，　所以，故，．

　　　從而：，   ：．

（Ⅱ）由題設(shè)知：，設(shè)，，，．

　　　由，得，所以．

　　　而，由條件，得．

　　　由（Ⅰ）得，．從而，：，即．

　　　由，得．所以，．

　　　故．

如圖，已知直線(xiàn)（）與拋物線(xiàn)：和圓：都相切，是的焦點(diǎn)．

（Ⅰ）求與的值；

（Ⅱ）設(shè)是上的一動(dòng)點(diǎn)，以為切點(diǎn)作拋物線(xiàn)的切線(xiàn)，直線(xiàn)交軸于點(diǎn)，以、為鄰邊作平行四邊形，證明：點(diǎn)在一條定直線(xiàn)上；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，記點(diǎn)所在的定直線(xiàn)為，    直線(xiàn)與軸交點(diǎn)為，連接交拋物線(xiàn)于、兩點(diǎn)，求△的面積的取值范圍．

【解析】第一問(wèn)中利用圓： 的圓心為，半徑．由題設(shè)圓心到直線(xiàn)的距離．  

即，解得（舍去）

設(shè)與拋物線(xiàn)的相切點(diǎn)為，又，得，．     

代入直線(xiàn)方程得：，∴    所以，

第二問(wèn)中，由（Ⅰ）知拋物線(xiàn)方程為，焦點(diǎn)．   ………………（2分）

設(shè)，由（Ⅰ）知以為切點(diǎn)的切線(xiàn)的方程為．   

令，得切線(xiàn)交軸的點(diǎn)坐標(biāo)為    所以，，    ∵四邊形FAMB是以FA、FB為鄰邊作平行四邊形

∴ 因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070911460473385651/SYS201207091146532963151648_ST.files/image007.png">是定點(diǎn)，所以點(diǎn)在定直線(xiàn)

第三問(wèn)中，設(shè)直線(xiàn)，代入得結(jié)合韋達(dá)定理得到。

解：（Ⅰ）由已知，圓： 的圓心為，半徑．由題設(shè)圓心到直線(xiàn)的距離．  

即，解得（舍去）．     …………………（2分）

設(shè)與拋物線(xiàn)的相切點(diǎn)為，又，得，．     

代入直線(xiàn)方程得：，∴    所以，．      ……（2分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知拋物線(xiàn)方程為，焦點(diǎn)．   ………………（2分）

設(shè)，由（Ⅰ）知以為切點(diǎn)的切線(xiàn)的方程為．   

令，得切線(xiàn)交軸的點(diǎn)坐標(biāo)為    所以，，    ∵四邊形FAMB是以FA、FB為鄰邊作平行四邊形，

∴ 因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070911460473385651/SYS201207091146532963151648_ST.files/image007.png">是定點(diǎn)，所以點(diǎn)在定直線(xiàn)上．…（2分）

（Ⅲ）設(shè)直線(xiàn)，代入得，  ……）得，                 ……………………………     （2分）

，

．△的面積范圍是

 

如圖，在三棱錐中，平面平面，，，，為中點(diǎn)．（Ⅰ）求點(diǎn)B到平面的距離；（Ⅱ）求二面角的余弦值．

【解析】第一問(wèn)中利用因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070912243024954937/SYS201207091224587495603078_ST.files/image012.png">，為中點(diǎn)，所以

而平面平面，所以平面，再由題設(shè)條件知道可以分別以、、為，， 軸建立直角坐標(biāo)系得，，，，，，

故平面的法向量而，故點(diǎn)B到平面的距離

第二問(wèn)中，由已知得平面的法向量，平面的法向量

故二面角的余弦值等于

解：（Ⅰ）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070912243024954937/SYS201207091224587495603078_ST.files/image012.png">，為中點(diǎn)，所以

而平面平面，所以平面，

  再由題設(shè)條件知道可以分別以、、為，， 軸建立直角坐標(biāo)系，得，，，，

，，故平面的法向量

而，故點(diǎn)B到平面的距離

（Ⅱ）由已知得平面的法向量，平面的法向量

故二面角的余弦值等于

 

設(shè)sin＝，則sin 2θ＝         ．