（1）定理：若函數(shù)f（x）的圖象在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，且在（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，則至少存在一點(diǎn)ξ∈（a，b），使得f（b）-f（a）=f′（ξ）（b-a）成立．應(yīng)用上述定理證明：
①1-

x

y

＜lny-lnx＜

y

x

-1(0＜x＜y)；
②

n

k-2

1

k

＜lnn＜

n-1

k-1

1

k

(n＞1)．
（2）設(shè)f（x）=xⁿ（n∈N^*）．若對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，y，f（x）-f（y）=f′（

x+y

2

）（x-y）恒成立，求n所有可能的值．

已知定義在（-1，1）上的函數(shù)f （x）滿足f(

1

2

)=1，且對(duì)x，y∈（-1，1）時(shí)，有f(x)-f(y)=f(

x-y

1-xy

)．
（I）判斷f（x）在（-1，1）上的奇偶性，并證明之；
（II）令x1=

1

2

，xn+1=

2xn

1+ x 2n

，求數(shù)列{f（x_n）}的通項(xiàng)公式；
（III）設(shè)T_n為數(shù)列{

1

f(xn)

}的前n項(xiàng)和，問(wèn)是否存在正整數(shù)m，使得對(duì)任意的n∈N^*，有Tn＜

m-4

3

成立？若存在，求出m的最小值；若不存在，則說(shuō)明理由．