（2006•成都一模）已知定義在（-1，1）上的函數(shù)f （x）滿足f(

1

2

)=1，且對(duì)x，y∈（-1，1）時(shí)，有f(x)-f(y)=f(

x-y

1-xy

)．
（I）判斷f（x）在（-1，1）上的奇偶性，并證明之；
（II）令x1=

1

2

，xn+1=

2xn

1+ x 2 n

，求數(shù)列{f（x_n）}的通項(xiàng)公式；
（III）設(shè)T_n為數(shù)列{

1

f(xn)

}的前n項(xiàng)和，問(wèn)是否存在正整數(shù)m，使得對(duì)任意的n∈N^*，有Tn＜

m-4

3

成立？若存在，求出m的最小值；若不存在，則說(shuō)明理由．

（2012•徐匯區(qū)一模）對(duì)于數(shù)列{x_n}，從中選取若干項(xiàng)，不改變它們?cè)谠瓉?lái)數(shù)列中的先后次序，得到的數(shù)列稱為是原來(lái)數(shù)列的一個(gè)子數(shù)列．某同學(xué)在學(xué)習(xí)了這一個(gè)概念之后，打算研究首項(xiàng)為a₁，公差為d的無(wú)窮等差數(shù)列{a_n}的子數(shù)列問(wèn)題，為此，他取了其中第一項(xiàng)a₁，第三項(xiàng)a₃和第五項(xiàng)a₅．
（1）若a₁，a₃，a₅成等比數(shù)列，求d的值；
（2）在a₁=1，d=3 的無(wú)窮等差數(shù)列{a_n}中，是否存在無(wú)窮子數(shù)列{b_n}，使得數(shù)列（b_n）為等比數(shù)列？若存在，請(qǐng)給出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式并證明；若不存在，說(shuō)明理由；
（3）他在研究過(guò)程中猜想了一個(gè)命題：“對(duì)于首項(xiàng)為正整數(shù)a，公比為正整數(shù)q（q＞1）的無(wú)窮等比數(shù)列{c_n}，總可以找到一個(gè)子數(shù)列{b_n}，使得{d_n}構(gòu)成等差數(shù)列”．于是，他在數(shù)列{c_n}中任取三項(xiàng)c_k，c_m，c_n（k＜m＜n），由c_k+c_n與2c_m的大小關(guān)系去判斷該命題是否正確．他將得到什么結(jié)論？

（2011•晉中三模）數(shù)列{x_n}滿足x_n+1=x_n+x_n+2，已知x₁=a，x₂=b，則x₂₀₁₁的值為．