設(shè)數(shù)列{a_n}是有窮等差數(shù)列，給出下面數(shù)表：
a₁　 a₂    a₃     …a_n-1　　a_n 第1行
a₁+a₂  　a₂+a₃  　…a_n-1+a_n 　第2行
…
…
…第n行
上表共有n行，其中第1行的n個數(shù)為a₁，a₂，a₃…a_n，從第二行起，每行中的每一個數(shù)都等于它肩上兩數(shù)之和．記表中各行的數(shù)的平均數(shù)（按自上而下的順序）分別為b₁，b₂，b₃…b_n．
（1）求證：數(shù)列b₁，b₂，b₃…b_n成等比數(shù)列；
（2）若a_k=2k-1（k=1，2，…，n），求和

n

k=1

akbk．

由以下條件分別給出數(shù)列{a_n}：
（1）{3 an}是等比數(shù)列；（2）前n項(xiàng)和S_n=n²+2；
（3）a₁＞0，且a_k=

2

k-1

（a₁+a₂+…+a_k-1）（k≥2）；（4）2a_n+1=a_n+a_n-1（n≥2）；
以上能使{a_n}成等差數(shù)列的條件的序號是．

已知{a_k}數(shù)列是等差數(shù)列．
（1）若m+n=p+q，求證a_m+a_n=a_p+a_q．
（2）若a_k=2k-1，求證a₁²+a₂²+…+a_k²=

1

3

k（4k²-1）．
（3）若對于給定的正整數(shù)s，有a₁²+a_s+1²=1，求S=a_s+1+…+a_2s+a_2s+1的最大值．

（2012•湖南）對于n∈N^*，將n表示為n=ak×2k+ak-1×2k-1+…+a1×21+a0×20，當(dāng)i=k時，a_i=1，當(dāng)0≤i≤k-1時，a_i為0或1．定義b_n如下：在n的上述表示中，當(dāng)a₀，a₁，a₂，…，a_k中等于1的個數(shù)為奇數(shù)時，b_n=1；否則b_n=0．
（1）b₂+b₄+b₆+b₈=；
（2）記c_m為數(shù)列{b_n}中第m個為0的項(xiàng)與第m+1個為0的項(xiàng)之間的項(xiàng)數(shù)，則c_m的最大值是．