（本小題滿分12分）

設(shè)數(shù)列｛a_n｝的首項a₁∈（0,1），a_n+1=（n∈N₊）

（I）求｛a_n｝的通項公式

（II）設(shè)b_n=a_n，判斷數(shù)列｛b_n｝的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論

 

已知等比數(shù)列{a_n}的首項為a₁=2，公比為q（q為正整數(shù)），且滿足3a₃是8a₁與a₅的等差中項；數(shù)列{b_n}滿足2n²-（t+b_n）n+

3

2

b_n=0（t∈R，n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）試確定t的值，使得數(shù)列{b_n}為等差數(shù)列；
（3）當{b_n}為等差數(shù)列時，對任意正整數(shù)k，在a_k與a_k+1之間插入2共b_k個，得到一個新數(shù)列{c_n}．設(shè)T_n是數(shù)列{c_n}的前n項和，試求滿足T_n=2c_m+1的所有正整數(shù)m的值．

從數(shù)列{a_n}中取出部分項，并將它們按原來的順序組成一個數(shù)列，稱之為數(shù)列{a_n}的一個子數(shù)列．設(shè)數(shù)列{a_n}是一個首項為a₁、公差為d（d≠0）的無窮等差數(shù)列．
（1）若a₁，a₂，a₅成等比數(shù)列，求其公比q．
（2）若a₁=7d，從數(shù)列{a_n}中取出第2項、第6項作為一個等比數(shù)列的第1項、第2項，試問該數(shù)列是否為{a_n}的無窮等比子數(shù)列，請說明理由．
（3）若a₁=1，從數(shù)列{a_n}中取出第1項、第m（m≥2）項（設(shè)a_m=t）作為一個等比數(shù)列的第1項、第2項，試問當且僅當t為何值時，該數(shù)列為{a_n}的無窮等比子數(shù)列，請說明理由．