題目列表(包括答案和解析)
設(shè)橢圓的左、右頂點分別為,點在橢圓上且異于兩點,為坐標(biāo)原點.
(Ⅰ)若直線與的斜率之積為,求橢圓的離心率;
(Ⅱ)若,證明直線的斜率 滿足
【解析】(1)解:設(shè)點P的坐標(biāo)為.由題意,有 ①
由,得,
由,可得,代入①并整理得
由于,故.于是,所以橢圓的離心率
(2)證明:(方法一)
依題意,直線OP的方程為,設(shè)點P的坐標(biāo)為.
由條件得消去并整理得 ②
由,及,
得.
整理得.而,于是,代入②,
整理得
由,故,因此.
所以.
(方法二)
依題意,直線OP的方程為,設(shè)點P的坐標(biāo)為.
由P在橢圓上,有
因為,,所以,即 ③
由,,得整理得.
于是,代入③,
整理得
解得,
所以.
已知點為圓上的動點,且不在軸上,軸,垂足為,線段中點的軌跡為曲線,過定點任作一條與軸不垂直的直線,它與曲線交于、兩點。
(I)求曲線的方程;
(II)試證明:在軸上存在定點,使得總能被軸平分
【解析】第一問中設(shè)為曲線上的任意一點,則點在圓上,
∴,曲線的方程為
第二問中,設(shè)點的坐標(biāo)為,直線的方程為, ………………3分
代入曲線的方程,可得
∵,∴
確定結(jié)論直線與曲線總有兩個公共點.
然后設(shè)點,的坐標(biāo)分別, ,則,
要使被軸平分,只要得到。
(1)設(shè)為曲線上的任意一點,則點在圓上,
∴,曲線的方程為. ………………2分
(2)設(shè)點的坐標(biāo)為,直線的方程為, ………………3分
代入曲線的方程,可得 ,……5分
∵,∴,
∴直線與曲線總有兩個公共點.(也可根據(jù)點M在橢圓的內(nèi)部得到此結(jié)論)
………………6分
設(shè)點,的坐標(biāo)分別, ,則,
要使被軸平分,只要, ………………9分
即,, ………………10分
也就是,,
即,即只要 ………………12分
當(dāng)時,(*)對任意的s都成立,從而總能被軸平分.
所以在x軸上存在定點,使得總能被軸平分
已知中心在原點,焦點在軸上的橢圓的離心率為,且經(jīng)過點.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)是否存過點(2,1)的直線與橢圓相交于不同的兩點,滿足?若存在,求出直線的方程;若不存在,請說明理由.
【解析】第一問利用設(shè)橢圓的方程為,由題意得
解得
第二問若存在直線滿足條件的方程為,代入橢圓的方程得
.
因為直線與橢圓相交于不同的兩點,設(shè)兩點的坐標(biāo)分別為,
所以
所以.解得。
解:⑴設(shè)橢圓的方程為,由題意得
解得,故橢圓的方程為.……………………4分
⑵若存在直線滿足條件的方程為,代入橢圓的方程得
.
因為直線與橢圓相交于不同的兩點,設(shè)兩點的坐標(biāo)分別為,
所以
所以.
又,
因為,即,
所以.
即.
所以,解得.
因為A,B為不同的兩點,所以k=1/2.
于是存在直線L1滿足條件,其方程為y=1/2x
已知中心在坐標(biāo)原點,焦點在軸上的橢圓C;其長軸長等于4,離心率為.
(Ⅰ)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)若點(0,1), 問是否存在直線與橢圓交于兩點,且?若存在,求出的取值范圍,若不存在,請說明理由.
【解析】本試題主要考查了橢圓的方程的求解,直線與橢圓的位置關(guān)系的運用。
第一問中,可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為
則由長軸長等于4,即2a=4,所以a=2.又,所以,
又由于
所求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為
第二問中,
假設(shè)存在這樣的直線,設(shè),MN的中點為
因為|ME|=|NE|所以MNEF所以
(i)其中若時,則K=0,顯然直線符合題意;
(ii)下面僅考慮情形:
由,得,
,得
代入1,2式中得到范圍。
(Ⅰ) 可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為
則由長軸長等于4,即2a=4,所以a=2.又,所以,
又由于
所求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為
(Ⅱ) 假設(shè)存在這樣的直線,設(shè),MN的中點為
因為|ME|=|NE|所以MNEF所以
(i)其中若時,則K=0,顯然直線符合題意;
(ii)下面僅考慮情形:
由,得,
,得……② ……………………9分
則.
代入①式得,解得………………………………………12分
代入②式得,得.
綜上(i)(ii)可知,存在這樣的直線,其斜率k的取值范圍是
已知曲線上動點到定點與定直線的距離之比為常數(shù).
(1)求曲線的軌跡方程;
(2)若過點引曲線C的弦AB恰好被點平分,求弦AB所在的直線方程;
(3)以曲線的左頂點為圓心作圓:,設(shè)圓與曲線交于點與點,求的最小值,并求此時圓的方程.
【解析】第一問利用(1)過點作直線的垂線,垂足為D.
代入坐標(biāo)得到
第二問當(dāng)斜率k不存在時,檢驗得不符合要求;
當(dāng)直線l的斜率為k時,;,化簡得
第三問點N與點M關(guān)于X軸對稱,設(shè),, 不妨設(shè).
由于點M在橢圓C上,所以.
由已知,則
,
由于,故當(dāng)時,取得最小值為.
計算得,,故,又點在圓上,代入圓的方程得到.
故圓T的方程為:
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