可以證明，對(duì)任意的n∈N^*，有（1+2+…+n）²=1³+2³+…+n³成立．下面嘗試推廣該命題：
（1）設(shè)由三項(xiàng)組成的數(shù)列a₁，a₂，a₃每項(xiàng)均非零，且對(duì)任意的n∈{1，2，3}有（a₁+a₂+…+a_n）²=a₁³+a₂³+…+a_n³成立，求所有滿(mǎn)足條件的數(shù)列；
（2）設(shè)數(shù)列{a_n}每項(xiàng)均非零，且對(duì)任意的n∈N^*有（a₁+a₂+…+a_n）²=a₁³+a₂³+…+a_n³成立，數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n．求證：a_n+1²-a_n+1=2S_n，n∈N^*；
（3）是否存在滿(mǎn)足（2）中條件的無(wú)窮數(shù)列{a_n}，使得a₂₀₁₁=2009？若存在，寫(xiě)出一個(gè)這樣的無(wú)窮數(shù)列（不需要證明它滿(mǎn)足條件）； 若不存在，說(shuō)明理由．

已知函數(shù)f（x）=

ax

1+xa

（x＞0，a為常數(shù)），數(shù)列 {a_n} 滿(mǎn)足：a₁=

1

2

，a_n+1=f（a_n），n∈N^*．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求數(shù)列{a_n} 的通項(xiàng)公式；
（2）在（1）的條件下，證明對(duì)?n∈N^*有：a₁a₂a₃+a₂a₃a₄+…+a_na_n+1a_n+2=

n(n+5)

12(n+2)(n+3)

．

如圖，棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M、N分別為AB、BC的中點(diǎn)．
（1）當(dāng)點(diǎn)P在DD₁上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否都有MN∥平面A₁C₁P？證明你的結(jié)論；
（2）當(dāng)點(diǎn)P在何位置時(shí)，二面角P-MN-B₁ 為直二面角；
（3）按圖中示例，在給出的方格紙中，用事先再畫(huà)出此正方體的4個(gè)形狀不同的表面展開(kāi)圖，且每個(gè)展開(kāi)提均滿(mǎn)足條件“有四個(gè)正方形連成一個(gè)長(zhǎng)方形”．（如果多畫(huà)，則按前4個(gè)記分）

（2012•姜堰市模擬）可以證明，對(duì)任意的n∈N^*，有（1+2+…+n）²=1³+2³+…+n³成立．下面嘗試推廣該命題：
（1）設(shè)由三項(xiàng)組成的數(shù)列a₁，a₂，a₃每項(xiàng)均非零，且對(duì)任意的n∈{1，2，3}有（a₁+a₂+…+a_n）²=a₁³+a₂³+…+a_n³成立，求所有滿(mǎn)足條件的數(shù)列；
（2）設(shè)數(shù)列{a_n}每項(xiàng)均非零，且對(duì)任意的n∈N^*有（a₁+a₂+…+a_n）²=a₁³+a₂³+…+a_n³成立，數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n．求證：a_n+1²-a_n+1=2S_n，n∈N^*；
（3）是否存在滿(mǎn)足（2）中條件的無(wú)窮數(shù)列{a_n}，使得a₂₀₁₂=-2011？若存在，寫(xiě)出一個(gè)這樣的無(wú)窮數(shù)列（不需要證明它滿(mǎn)足條件）； 若不存在，說(shuō)明理由．

（2013•揭陽(yáng)一模）已知函數(shù)f(x)=

αx

1+xα

(x＞0，α為常數(shù)），數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足：a1=

1

2

，a_n+1=f（a_n），n∈N*．
（1）當(dāng)α=1時(shí)，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）在（1）的條件下，證明對(duì)?n∈N*有：a1a2a3+a2a3a4+…+anan+1an+2=

n(n+5)

12(n+2)(n+3)

；
（3）若α=2，且對(duì)?n∈N*，有0＜a_n＜1，證明：an+1-an＜

2 +1

8

．