如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC=45°，PA=AD=2，AC=1.

（Ⅰ）證明PC⊥AD；

（Ⅱ）求二面角A-PC-D的正弦值；

（Ⅲ）設(shè)E為棱PA上的點(diǎn)，滿足異面直線BE與CD所成的角為30°，求AE的長.

 

【解析】解法一：如圖，以點(diǎn)A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，依題意得A(0,0,0)，D(2,0,0),C(0,1,0), ,P（0,0,2）.

（1）證明：易得，于是,所以

(2) ,設(shè)平面PCD的法向量，

則,即.不防設(shè)，可得.可取平面PAC的法向量于是從而.

所以二面角A-PC-D的正弦值為.

（3）設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0,0，h），其中，由此得.

由，故 

所以，，解得，即.

解法二：（1）證明：由，可得，又由,,故.又,所以.

(2)如圖，作于點(diǎn)H，連接DH.由,,可得.

因此,從而為二面角A-PC-D的平面角.在中，,由此得由（1）知,故在中，

因此所以二面角的正弦值為.

（3）如圖，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012071821180638818491/SYS201207182118431693242163_ST.files/image044.png">，故過點(diǎn)B作CD的平行線必與線段AD相交，設(shè)交點(diǎn)為F，連接BE，EF. 故或其補(bǔ)角為異面直線BE與CD所成的角.由于BF∥CD，故.在中，故

在中，由,,

可得.由余弦定理，,

所以.

 

如圖6，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是等腰梯形，AD∥BC，AC⊥BD.

（Ⅰ）證明：BD⊥PC；

（Ⅱ）若AD=4，BC=2，直線PD與平面PAC所成的角為30°，求四棱錐P-ABCD的體積.

【解析】（Ⅰ）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070912413079631221/SYS201207091242012651351203_ST.files/image002.png">

又是平面PAC內(nèi)的兩條相較直線，所以BD平面PAC，

而平面PAC，所以.

（Ⅱ）設(shè)AC和BD相交于點(diǎn)O，連接PO，由（Ⅰ）知，BD平面PAC，

所以是直線PD和平面PAC所成的角，從而.

由BD平面PAC，平面PAC，知.在中，由，得PD=2OD.因?yàn)樗倪呅蜛BCD為等腰梯形，，所以均為等腰直角三角形，從而梯形ABCD的高為于是梯形ABCD面積

在等腰三角形ＡＯＤ中，

所以

故四棱錐的體積為.

【點(diǎn)評】本題考查空間直線垂直關(guān)系的證明，考查空間角的應(yīng)用，及幾何體體積計(jì)算.第一問只要證明BD平面PAC即可，第二問由（Ⅰ）知，BD平面PAC，所以是直線PD和平面PAC所成的角，然后算出梯形的面積和棱錐的高，由算得體積

 

某旅游景區(qū)的觀景臺P位于高（山頂?shù)缴侥_水平面M的垂直高度PO）為2Km的山峰上，山腳下有一段位于水平線上筆直的公路AB，山坡面可近似地看作平面PAB，且△PAB為等腰三角形．山坡面與腳所在水平面M所成的二面角為α（0°＜α＜90°），且sinα=

2

5

．現(xiàn)從山腳的公路AB某處C₀開始修建與公路AB成β角的盤山公路C₀C₁，C₁C₂，C₂C₃，…C_n-1C_n（如圖所示）．其中0＜β＜90°，sinβ=

1

4

（1）試問：垂直高度每升高100米，盤山公路需修建多長？若修建盤山公路至半山腰（高度為山高的一半），在半山腰的中心Q處修建上山纜車索道站，索道PQ依山而建（與山坡面平行，離坡面高度忽略不計(jì)），問盤山公路的長度和索道的長度各是多少？
（2）若修建盤山公路為xKm，其造價(jià)為

x2+100

 a萬元．而修建索道的造價(jià)為2

2

a元/Km．
問修建盤山公路至多高時，再修建上山索道至觀景臺，總造價(jià)最少．

某旅游景區(qū)的觀景臺P位于高（山頂?shù)缴侥_水平面M的垂直高度PO）為2km的山峰上，山腳下有一段位于水平線上筆直的公路AB，山坡面可近似地看作平面PAB，且△PAB為等腰三角形．山坡面與山腳所在水平面M所成的二面角為α（0°＜α＜90°），且sinα＝．現(xiàn)從山腳的水平公路AB某處C₀開始修建一條盤山公路，該公路的第一段、第二段、第三段…，第n－1段依次為C₀C₁，C₁C₂，C₂C₃，…，C_n－1C_n（如圖所示），且C₀C₁，C₁C₂，C₂C₃，…，C_n－1C_n與AB所成的角均為β，其中0＜β＜90°，sinβ＝．試問：

   （1）每修建盤山公路多少米，垂直高度就能升高100米．若修建盤山公路至半山腰（高度為山高的一半），在半山腰的中心Q處修建上山纜車索道站，索道PQ依山而建（與山坡面平行，離坡面高度忽略不計(jì)），問盤山公路的長度和索道的長度各是多少？

   （2）若修建xkm盤山公路，其造價(jià)為 a萬元．修建索道的造價(jià)為2a萬元/km．問修建盤山公路至多高時，再修建上山索道至觀景臺，總造價(jià)最少．