已知函數(shù)f(x)=2lnx+

1-x2

x

（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）利用1）的結(jié)論求解不等式2|lnx|≤(1+

1

x

)•|x-1|．并利用不等式結(jié)論比較ln²（1+x）與

x2

1+x

的大�。�
（3）若不等式(n+a)ln(1+

1

n

)≤1對任意n∈N^*都成立，求a的最大值．

已知f（x）=

lnx

x

，g（x）=-

x2

2

+2ex-tlnx-

1

x

，t為實(shí)常數(shù)，
（1）比較

1

e

與ln

2

大�。�
（2）求f（x）在區(qū)間[1，a]（a＞1的常數(shù)）上最大值．
（3）當(dāng)x∈[1，2]時，不等式g（x）≤t[λ-xf（x）]對于λ∈[1，+∞）恒成立，求t取值范圍．

給出以下四個數(shù)：(ln2)2，ln(ln2)，ln

2

與ln2，其中最大的數(shù)為．

定義：設(shè)函數(shù)y=f（x）在（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，f'（x）為f（x）的導(dǎo)數(shù)，f''（x）為f'（x）的導(dǎo)數(shù)即f（x）的二階導(dǎo)數(shù)，若函數(shù)y=f（x） 在（a，b）內(nèi)的二階導(dǎo)數(shù)恒大于等于0，則稱函數(shù)y=f（x）是（a，b）內(nèi)的下凸函數(shù)（有時亦稱為凹函數(shù)）．已知函數(shù)f（x）=xlnx
（1）證明函數(shù)f（x）=xlnx是定義域內(nèi)的下凸函數(shù)，并在所給直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)f（x）=xlnx的圖象；
（2）對?x₁，x₂∈R⁺，根據(jù)所畫下凸函數(shù)f（x）=xlnx圖象特征指出x₁lnx₁+x₂lnx₂≥（x₁+x₂）[ln（x₁+x₂）-ln2]與x₁lnx₁+x₂lnx₂≥（x₁+x₂）[ln（x₁+x₂）-ln2]的大小關(guān)系；
（3）當(dāng)n為正整數(shù)時，定義函數(shù)N （n）表示n的最大奇因數(shù)．如N （3）=3，N （10）=5，…．記S（n）=N（1）+N（2）+…+N（2ⁿ），若

2n

i=1

xi=1，證明：

2n

i=1

xilnxi≥-ln2nln

1

3S(n)-2

（i，n∈N^*）．