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已知圓O：x²+y²=2交x軸于A，B兩點(diǎn)，曲線C是以AB為長(zhǎng)軸，離心率為

2

2

的橢圓，其左焦點(diǎn)為F．若P是圓O上一點(diǎn)，連接PF，過(guò)原點(diǎn)O作直線PF的垂線交橢圓C的左準(zhǔn)線于點(diǎn)Q．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，1），求證：直線PQ與圓O相切；
（3）試探究：當(dāng)點(diǎn)P在圓O上運(yùn)動(dòng)時(shí)（不與A、B重合），直線PQ與圓O是否保持相切的位置關(guān)系？若是，請(qǐng)證明；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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1．C   2．A    3．A    4．D   5. D   6．B    7. B    8. A    9. B   10．D

11.      12.  2     13.      14.     15.

16．解：（1）∵_，∴，

 ∵，∴, 即邊的長(zhǎng)度為。

（2）由_，得…………①

     _，即…………②

由①②得，由正弦定理，∴，即證。

17． 解：（1）∵函數(shù)的圖象的對(duì)稱(chēng)軸為要使在區(qū)間上為增函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)且。

依條件可知試驗(yàn)的全部結(jié)果為，即

共15個(gè)整點(diǎn)。

所求事件為，即共5個(gè)整點(diǎn)，∴所求事件

的概率為。

（2）隨機(jī)變量的取值有：2，3，4，5，6。的隨機(jī)分布列為：

2

3

4

5

6

隨機(jī)變量的期望。

18．解法一：（1）易求，從而，由三垂線定理知：。

（2）法一：易求由勾股定理知，設(shè)點(diǎn)在面內(nèi)的射影為，過(guò)作于，連結(jié)，則為二面角的平面角。在中由面積法易求，由體積法求得點(diǎn)到面的距離是

，所以，所以求二面角的大小為。

法二：易求由勾股定理知，過(guò)作于，又過(guò)作交于，連結(jié)。則易證為二面角的平面角。在中由面積法易求，從而于是，所以

，在中由余弦定理求得。再在中由余弦定理求得。最后在中由余弦定理求得，所以求二面角的大小為。

（3）設(shè)AC與BD交于O，則OF//CM，所以CM//平面FBD，當(dāng)P點(diǎn)在M或C時(shí)，三棱錐P―BFD的體積的最小。。

解法二：空間向量解法，略。

19.解：（1）

當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)，此時(shí)函數(shù)遞減；當(dāng)時(shí)，此時(shí)函數(shù)遞增；當(dāng)時(shí)，取極小值，其極小值為0。

（2）由（1）可知函數(shù)和的圖像在處有公共點(diǎn)，因此若存在和的分界直線，則該直線過(guò)這個(gè)公共點(diǎn)。設(shè)分界直線的斜率為則直線方程為即由可得當(dāng)時(shí)恒成立

由得。

下面證明當(dāng)時(shí)恒成立。

令則

當(dāng)時(shí)，。當(dāng)時(shí)，此時(shí)函數(shù)遞增；當(dāng)時(shí)，此時(shí)函數(shù)遞減；當(dāng)時(shí)，取極大值，其極大值為0。

從而即恒成立。

函數(shù)和存在唯一的分界直線。

20．解：（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則：

，從而：，故,所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為。

（2）設(shè)，則圓方程為,與圓聯(lián)立消去得的方程為，過(guò)定點(diǎn)。

（3）將與橢圓方程聯(lián)立成方程組消去得：

,設(shè)，則。

，

所以。

故存在定點(diǎn)，使恒為定值。

21．解：（1）法一：數(shù)學(xué)歸納法；

法二：

所以為首項(xiàng)為公比為2的等比數(shù)列，

，即證。

法三：，兩邊同除以，轉(zhuǎn)化為疊加法求數(shù)列通項(xiàng)類(lèi)型。

（2）法一：容易證明單調(diào)遞增，。由函數(shù)割線斜率與中點(diǎn)切線斜率的關(guān)系想到先證，即證，即證

。令下證。事實(shí)上，構(gòu)造函數(shù)，則

，，所以在上單調(diào)遞增，故，則，即證。

于是由有，

（因?yàn)?sub>）。

法二：要證，即證

，聯(lián)想到熟悉的不等式（證明如法一）。令，則 ，即證

，下同方法一。

法三：聯(lián)想到熟悉的不等式（證略）。令，則

，即證而，但驗(yàn)算當(dāng)時(shí)不成立。故單獨(dú)驗(yàn)證時(shí)原不等式成立，經(jīng)驗(yàn)證成立。下用數(shù)學(xué)歸納法證成立。

由，則，作差有。

①當(dāng)時(shí)，成立。

②假設(shè)時(shí)，，則

當(dāng)時(shí)，，

下證，顯然。所以，命題對(duì)時(shí)成立。綜上①②即證。