題目列表(包括答案和解析)
設函數的圖象在點處的切線的斜率為,且函數為偶函數.若函數滿足下列條件:①;②對一切實數,不等式恒成立.
(Ⅰ)求函數的表達式;
(Ⅱ)求證:.
說明:
一、本解答指出了每題要考查的主要知識和能力,并給出了一種或幾種解法供參考,如果考生的解法與本解答不同,可根據試題的主要考查內容比照評分標準制定相應的評分細則.
二、對計算題,當考生的解答在某一步出現(xiàn)錯誤時,如果后繼部分的解答未改變該題的內容和難度,可視影響的程度決定后繼部分的給分,但不得超過該部分正確解答應給分數的一半;如果后繼部分的解答有較嚴重的錯誤,就不再給分.
三、解答右端所注分數,表示考生正確做到這一步應得的累加分數.
四、只給整數分數,選擇題和填空題不給中間分.
一、選擇題:本題考查基礎知識和基本運算,每小題5分,滿分60分.
1. A 2. D 3. C 4. C 5. B 6. D 7. B 8. A 9. C 10. D 11. B 12. C
二、填空題:本題考查基礎知識和基本運算,每小題4分,滿分16分.
13. 14. 15. 16.
三、解答題:本大題共6小題,共74分,解答應寫出文字說明,證明過程或演算步驟.
17. 本題主要考查三角函數的基本公式,考查運算能力. 滿分12分.
解:(Ⅰ)在中,因為,
所以. ……………………………(3分)
所以
. …………………………(6分)
(Ⅱ)根據正弦定理得:,
所以. ……………………………(9分)
所以
. ………………………………………………………(12分)
18.本題主要考查直線與平面的位置關系,考查空間想像能力,推理論證能力和運算求解能
力. 滿分12分.
解:(Ⅰ)因為平面ABCD⊥平面ABE,且ABCD是正方形,所以BC⊥平面ABE,
因為G是等邊三角形ABE的邊AE的中點,所以BG⊥AE,……………(2分)
所以
.…………………………………………(4分)
(Ⅱ)取DE中點M,連結MG、FM,
因為MG AD,BF AD,所以MG BF,
四邊形FBGM是平行四邊形,所以BG//FM.(6分)
又因為FM平面EFD,BG平面EFD,
所以BG//平面EFD. ………………(8分)
(Ⅲ)因為DA⊥平面ABE,BG平面ABE,所以DA⊥BG. …………………(9分)
又BG⊥AE,ADAE=A,
所以BG⊥平面DAE,又AP平面DAE,………………………………(11分)
所以BG⊥AP. ……………………………………………………………(12分)
19. 本題主要考查等差數列、等比數列的基本知識,考查運算求解能力及推理能力. 滿分12分.
解:(Ⅰ)設該等差數列的公差為,依題意得: ………(2分)
解得: ………………………………………………………(4分)
所以數列的通項公式為. ………………………………(6分)
(Ⅱ)依題意得:………………(9分)
. ………(12分)
20. 本題主要考查概率、統(tǒng)計的基本知識,考查應用意識. 滿分12分.
解:(Ⅰ)設每個報名者能被聘用的概率為P,依題意有:
.
答:每個報名者能被聘用的概率為0.02. ………………………………………(4分)
(Ⅱ)設24名筆試者中有x名可以進入面試,依樣本估計總體可得:
,解得:,從表中可知面試的切線分數大約為80分.
答:可以預測面試的切線分數大約為80分. ……………………………………(8分)
(Ⅲ)從聘用的四男、二女中選派兩人的基本事件有:(a,b),( a,c) , (a, d) ,( a, e) ,
(a, f) ,( b, c) ,(b,d),( b, e) ,( b, f) ,(c, d) ,(c, e),( c, f) ,( d, e) ,( d, f) ,(e, f),共15種.
選派一男一女參加某項培訓的種數有:
(a,e) ,( a, f) , (b,e) ,(b, f),(c,e),(c, f) ,(d,e) ,(d, f),共8種
所以選派結果為一男一女的概率為.
答:選派結果為一男一女的概率為. …………………………………(12分)
21.本題主要考查圓、直線與橢圓的位置關系等基本知識,考查運算求解能力和分析問題、
解決問題的能力. 滿分12分
解:(Ⅰ)由已知得,,所以
又,所以,橢圓C的方程為 ………(3分)
因為,所以,可求得或,…(5分)
所以的外接圓D的方程是或.
………………………………………………………………(7分)(少一解扣1分)
(Ⅱ)當直線的斜率不存在時,由(Ⅰ)得,,
可得,所以.…………………………………(8分)
當直線的斜率存在時,設其斜率為,顯然,
則直線的方程為,設點,
將代入方程,并化簡得:
……………………………………(9分)
可得:,, ……………………(10分)
所以
.
綜上,. ………………………………………………………(12分)
22.本題主要考查函數的單調性、極值、最值、不等式、方程的解等基本知識,考查運用導
數研究函數性質的方法,考查分類與整合及化歸與轉化等數學思想. 滿分14分.
解:(Ⅰ)依題意,知的定義域為. …………………………………(1分)
當時,,
. ………………………………(2分)
令,解得.
當時,,此時單調遞增;
當時,,此時單調遞減. ……………………………(3分)
所以的極大值為,此即為最大值 . ……………………(4分)
(Ⅱ),
所以,在上恒成立,………………(6分)
所以 ,…………………………………(7分)
當時,取得最大值.所以. ………………(9分)
(Ⅲ)因為方程有唯一實數解,所以有唯一實數解.設,則.
令,得.
因為,
所以(舍去),, ………(10分)
當時,,在單調遞減,
當時,,在單調遞增.
當時,,取最小值. ……………………(11分)
因為有唯一解,所以.
則,即
所以,
因為,所以. …………………………(12分)
設函數,
因為當時,是增函數,所以至多有一解. ………(13分)
因為,所以方程的解為,即,
解得 ……………………………………………(14分)
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