(Ⅰ)因為時.取得極值.所以. 查看更多

 

題目列表(包括答案和解析)

已知函數,其中.

  (1)若處取得極值,求曲線在點處的切線方程;

  (2)討論函數的單調性;

  (3)若函數上的最小值為2,求的取值范圍.

【解析】第一問,處取得極值

所以,,解得,此時,可得求曲線在點

處的切線方程為:

第二問中,易得的分母大于零,

①當時, ,函數上單調遞增;

②當時,由可得,由解得

第三問,當時由(2)可知,上處取得最小值

時由(2)可知處取得最小值,不符合題意.

綜上,函數上的最小值為2時,求的取值范圍是

 

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已知函數的最小值為0,其中

(Ⅰ)求的值;

(Ⅱ)若對任意的成立,求實數的最小值;

(Ⅲ)證明).

【解析】(1)解: 的定義域為

,得

當x變化時,的變化情況如下表:

x

-

0

+

極小值

因此,處取得最小值,故由題意,所以

(2)解:當時,取,有,故時不合題意.當時,令,即

,得

①當時,,上恒成立。因此上單調遞減.從而對于任意的,總有,即上恒成立,故符合題意.

②當時,,對于,故上單調遞增.因此當取時,,即不成立.

不合題意.

綜上,k的最小值為.

(3)證明:當n=1時,不等式左邊==右邊,所以不等式成立.

時,

                      

                      

在(2)中取,得

從而

所以有

     

     

     

     

      

綜上,

 

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已知函數,.

(Ⅰ)若函數依次在處取到極值.求的取值范圍;

(Ⅱ)若存在實數,使對任意的,不等式 恒成立.求正整數的最大值.

【解析】第一問中利用導數在在處取到極值點可知導數為零可以解得方程有三個不同的實數根來分析求解。

第二問中,利用存在實數,使對任意的,不等式 恒成立轉化為,恒成立,分離參數法求解得到范圍。

解:(1)

(2)不等式 ,即,即.

轉化為存在實數,使對任意的,不等式恒成立.

即不等式上恒成立.

即不等式上恒成立.

,則.

,則,因為,有.

在區(qū)間上是減函數。又

故存在,使得.

時,有,當時,有.

從而在區(qū)間上遞增,在區(qū)間上遞減.

[來源:]

所以當時,恒有;當時,恒有;

故使命題成立的正整數m的最大值為5

 

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