題目列表(包括答案和解析)
已知函數(shù),
,其中
.
(1)若是函數(shù)
的極值點,求實數(shù)
的值;
(2)若對任意的(
為自然對數(shù)的底數(shù))都有
≥
成立,求實數(shù)
的取值范圍.
【解析】(1)根據(jù)建立關(guān)于a的方程求a即可.
(2)本題要分別求出f(x)在[1,e]上的最小值,g(x)在[1,e]上的最大值,然后
,解關(guān)于a的不等式即可.
設(shè)△ABC的內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a、b、c,已知a=1,b=2,cosC=. (1)求△ABC的周長; (2)求cos(A-C)的值.
【解析】(1)借助余弦定理求出邊c,直接求周長即可.(2)根據(jù)兩角差的余弦公式需要求sinC,sinA,cosA,由正弦定理即可求出sinA,進而可求出cosA.sinC可由cosA求出,問題得解.
已知正方體ABCD-A1B1C1D1,
O是底面ABCD對角線的交點.
(1)求證:A1C⊥平面AB1D1;
(2)求.
【解析】(1)證明線面垂直,需要證明直線垂直這個平面內(nèi)的兩條相交直線,本題只需證:即可.
(2)可以利用向量法,也可以根據(jù)平面A1ACC1與平面AB1D1垂直,可知取B1D1的中點E,則就是直線AC與平面AB1D1所成的角.然后解三角形即可.
已知數(shù)列是首項為
的等比數(shù)列,且滿足
.
(1) 求常數(shù)的值和數(shù)列
的通項公式;
(2) 若抽去數(shù)列中的第一項、第四項、第七項、……、第
項、……,余下的項按原來的順序組成一個新的數(shù)列
,試寫出數(shù)列
的通項公式;
(3) 在(2)的條件下,設(shè)數(shù)列的前
項和為
.是否存在正整數(shù)
,使得
?若存在,試求所有滿足條件的正整數(shù)
的值;若不存在,請說明理由.
【解析】第一問中解:由得
,,
又因為存在常數(shù)p使得數(shù)列為等比數(shù)列,
則即
,所以p=1
故數(shù)列為首項是2,公比為2的等比數(shù)列,即
.
此時也滿足,則所求常數(shù)
的值為1且
第二問中,解:由等比數(shù)列的性質(zhì)得:
(i)當(dāng)時,
;
(ii) 當(dāng)時,
,
所以
第三問假設(shè)存在正整數(shù)n滿足條件,則,
則(i)當(dāng)時,
,
已知函數(shù),曲線
在點
處的切線為
,若
時,
有極值.
(1)求的值;
(2)求在
上的最大值和最小值.
【解析】(1)根據(jù)可建立關(guān)于a,b,c的三個方程,解方程組即可.
(2)在(1)的基礎(chǔ)上,利用導(dǎo)數(shù)列表求極值,最值即可.
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