題目列表(包括答案和解析)
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
3 |
| ||
2 |
x0 |
a |
y0 |
b |
如圖,已知半橢圓(a>1,x≥0)的離心率為
曲線C2是以半橢圓C1的短軸為直徑的圓在y軸右側(cè)的部分,點P(x0,y0)是曲線C2上的任意一點,過點P且與曲線C2相切的直線l與半橢圓C1交于兩個不同點A、B.
(Ⅰ)求a的值及直線l的方程(用x0,y0表示);
(Ⅱ)△OAB的面積是否存在最大值?若存在,求出最大值;若不存在,說明理由.
(本小題滿分14分)
已知橢圓C1: (a>b>0)的離心率為
,直線
:
+2=0與以原點為圓心、以橢圓C1的短半軸長為半徑的圓相切。
(1)求橢圓C1的方程;
(2)設(shè)橢圓C1的左焦點為F 1,右焦點F2,直線過點F1且垂直于橢圓的長軸,動直線
垂直直線
于點P,線段PF2的垂直平分線交
于點M,求點M的軌跡C2的方程;
(3)若A(x1,2)、B(x2 ,Y2)、C(x0,y0)是C2上不同的點,且AB⊥ BC,求Yo的取值范圍。
(本小題滿分14分)
已知橢圓C1: (a>b>0)的離心率為
,直線
:
+2=0與以原點為圓心、以橢圓C1的短半軸長為半徑的圓相切。
(1)求橢圓C1的方程;
(2)設(shè)橢圓C1的左焦點為F 1,右焦點F2,直線過點F1且垂直于橢圓的長軸,動直線
垂直直線
于點P,線段PF2的垂直平分線交
于點M,求點M的軌跡C2的方程;
(3)若A(x1,2)、B(x2 ,Y2)、C(x0,y0)是C2上不同的點,且AB⊥ BC,求Yo的取值范圍。
一、選擇題:本小題共8小題,每小題5分,共40分.
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
B
D
B
D
B
B
C
二、填空題:本小題9―12題必答,13、14、15小題中選答2題,若全答只計前兩題得分,共30分.
9., f(x)<m; 10.90 ; 11.3 ;12.
;
13.垂直; 14. ; 15.
。
解答提示:
2.解:設(shè)等軸雙曲線為x2-y2=a2(a>0),
∵焦點到漸近線距離為,∴a=
。
3.解:∵, ∴
∴,∴
,∴
.
4.解:只有命題②正確。
5.解:有2男2女和三男一女兩種情況,
=
2400種.
6.解:,∴r=3,9時,該項為有理項
,∴
。
7.解:由正弦定理得,
由余弦定理有。
8.解:
可行域:的面積為4,圓x2+y2=1的面積為
,
由幾何概型計算公式得:P=。
10.平均每月注射了疫苗的雞的數(shù)量為萬只。
11.解:,
=3。
12.解:∵,
∴,
又,
∴,夾角等于
。
13.解:垂直。兩直線分別過點和
,前兩點和后兩點連線顯然垂直。
法二:兩直線化為普通方程是
其斜率乘積,故兩直線垂直。
14.解:,應有
15.解:由圓的相交弦定理知,
∴,
由圓的切割線定理知,
∴。
三、解答題:
16.解:(1) ,
……………3分
f(x) 。
………6分
(2)由(1)知 , …… 9分
的圖像向右平移
個單位,得到
的圖像,
其圖像關(guān)于原點對稱, …………… 11分
故m= 。
……………12分
17.解:(1),
又, ………………………………………………2分
又的等比中項為2,
,
而, ………………………………4分
, ……………………………6分
(2),
,
為首項,-1為公差的等差數(shù)列。
………………………9分
,
;當
;當
,
最大。 …………………………12分
18.解:(1)這位挑戰(zhàn)者有兩種情況能過關(guān):
①第三個對,前兩個一對一錯,得20+10+0=30分, ……… ………1分
②三個題目均答對,得10+10+20=40分, ……… ………2分
其概率分別為,
……… ………3分
,
……… ………4分
這位挑戰(zhàn)者過關(guān)的概率為
。 ………
………5分
(2)如果三個題目均答錯,得0+0+(-10)=-10分,
如果前兩個中一對一錯,第三個錯,得10+0+(-10)=0分; …… ………6分
前兩個錯,第三個對,得0+0+20=20分;
如果前兩個對,第三個錯,得10+10+(-10)=10分; ……… ………7分
故的可能取值為:-10,0,10,20,30,40.
………….8分
,
………
………9分
………………10分
……… ………11分
……… ………12分
又由(1),,
∴的概率分布為
-10
0
10
20
30
40
………………13分
根據(jù)的概率分布,可得
的期望,
………14分
19.解:(1),∴
, ∴
∵直線l:與圓x2+y2=b2相切,
∴=b,∴b=
,b2=2, …….3分
∴a2=3. ∴橢圓C1的方程是
…………. 4分
(2)∵|MP|=|MF2|,
∴動點M到定直線l1:x=-1的距離等于它的定點F2(1,0)的距離. …5分
∴動點M的軌跡是以l1為準線,F(xiàn)2為焦點的拋物線, ………….6分
∴ ,p=2 ,
………….7分
∴點M的軌跡C2的方程為。
.………….8分
(3)由(1)知A(1,2),,y2≠2,①
則,
………….10分
又因為 ,
,
整理得,
………….12分
則此方程有解,
∴解得
或
,
………….13分
又檢驗條件①:∵y2=2時y0=-6,不符合題意。
∴點C的縱坐標y0的取值范圍是 ………….14分
20.解法一:(向量法):
過點
作
∵⊥平面
∴⊥平面
又在中,
∴
如圖,以為原點,建立空間直角坐標系
.
………….1分
又在中,
,
∴
又在中,
∴
則
………….3分
(1)證明:∵
∴
∴
∴
又
∴⊥平面
………….6分
又在中,
、
分別是
、
上的動點,
且
∴不論為何值,都有
∴⊥平面
又平面
不論為何值,總有平面
⊥平面
………….8分
(2)∵,∴
,
∵,∴
,
又∵,
,
設(shè)是平面
的法向量,則
.………….10分
又,
,∵
=(0,1,0),
∴
令得
∴,
………….12分
∵ 是平面
的法向量,平面
與平面
所成的二面角為
,
∴
∴,
∴或
(不合題意,舍去),
故當平面與平面
所成的二面角的大小為
時
.…….14分
(2)解法二:∵,∴
,
設(shè)E(a,b,c),則,
∴a=1+,b=0,c=
, E(1+
,0,
),
∴)。
其余同解法一
(2)解法三:設(shè)是平面
的法向量,則
,
∵
∴
∴
又在中,
,
∴
又在中,
∴
∴
又,且
∴
∴
∴
又
∴
∴ ……………10分
∴
令得
∴
…………12分
其余同解法一
解法四:(傳統(tǒng)法):
(1)證明:∵⊥平面
∴
………….1分
又在中,
∴
………….2分
又
∴⊥平面
………….3分
又在中,
、
分別是
、
上的動點,
且
∴
………….4分
∴⊥平面
………….5分
又平面
∴不論為何值,總有平面
⊥平面
.
………….6分
(2)解:作BQ∥CD,則BQ⊥平面,
∴BQ⊥BC,BQ⊥BE,
又BQ與CD、EF共面,∴平面與∩平面
=BQ,
∴∠CBE平面與平面
所成的二面角的平面角,為
,∴
∴
① ………….9分
又
∴
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