已知函數(shù)f（x）=a（x-1）²+lnx+1．
（Ⅰ）當時，求函數(shù)f（x）的極值；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[2，4]上是減函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）當x∈[1，+∞）時，函數(shù)y=f（x）圖象上的點都在所表示的平面區(qū)域內，求實數(shù)a的取值范圍．

解：（Ⅰ）當時，（x＞0），
所以（x＞0），
由f'（x）＞0解得0＜x＜2；由f'（x）＜0解得x＞2，
故當0＜x＜2時，f（x）的單調遞增；當x＞2時，f（x）單調遞減，
∴當x=2時，函數(shù)f（x）取得極大值．（4分）
（Ⅱ），∵函數(shù)f（x）在區(qū)間[2，4]上單調遞減，
∴導數(shù)在區(qū)間[2，4]上恒成立，
即在[2，4]上恒成立，只需2a不大于在[2，4]上的最小值即可．（6分）
而（2≤x≤4），則當2≤x≤4時，，
∴，即，故實數(shù)a的取值范圍是．（8分）
（Ⅲ）因f（x）圖象上的點在所表示的平面區(qū)域內，
即當x∈[1，+∞）時，不等式f（x）≤x恒成立，即a（x-1）²+lnx-x+1≤0恒成立，
設g（x）=a（x-1）²+lnx-x+1（x≥1），只需g（x）_max≤0即可．（9分）
由=，
（�。┊攁=0時，，當x＞1時，g'（x）＜0，函數(shù)g（x）在（1，+∞）上單調遞減，故g（x）≤g（1）=0成立．（10分）
（ⅱ）當a＞0時，由，令g'（x）=0，得x₁=1或，
①若，即時，在區(qū)間（1，+∞）上，g'（x）＞0，函數(shù)g（x）在（1，+∞）上單調遞增，函數(shù)g（x）在[1，+∞）上無最大值，不滿足條件；
②若，即時，函數(shù)g（x）在上單調遞減，在區(qū)間上單調遞增，同樣g（x）在[1，+∞）上無最大值，不滿足條件．（12分）
（ⅲ）當a＜0時，由，因x∈（1，+∞），故g'（x）＜0，則函數(shù)g（x）在（1，+∞）上單調遞減，故g（x）≤g（1）=0成立．
綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是（-∞，0]．（14分）
分析：（Ⅰ）把代入可得函數(shù)解析式，求導后由極值的定義可得；
（Ⅱ）函數(shù)f（x）在區(qū)間[2，4]上單調遞減等價于其導數(shù)在區(qū)間[2，4]上恒成立，只需求在[2，4]上的最小值即可，下面可由基本不等式求解；
（Ⅲ）題意可化為當x∈[1，+∞）時，不等式f（x）≤x恒成立，即a（x-1）²+lnx-x+1≤0恒成立，設g（x）=a（x-1）²+lnx-x+1（x≥1），只需g（x）_max≤0即可，下面用導數(shù)求解g（x）的最大值．
點評：本題為函數(shù)與導數(shù)的綜合應用，涉及極值，基本不等式，和分類討論的思想，屬中檔題．