A．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，弧AB=弧AD，過A點的切線交CB的延長線于E點．
求證：AB²=BE•CD．
B．已知矩陣M

2 -3 1 -1

所對應(yīng)的線性變換把點A（x，y）變成點A′（13，5），試求M的逆矩陣及點A的坐標(biāo)．
C．已知圓的極坐標(biāo)方程為：ρ2-4

2

ρcos(θ-

π

4

)+6=0．
（1）將圓的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；
（2）若點P（x，y）在該圓上，求x+y的最大值和最小值．
D．解不等式|2x-1|＜|x|+1．

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A．（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）在極坐標(biāo)系中，點P(2，

3π

2

)到直線l：3ρcosθ-4ρsinθ=3的距離為

1

1

． 
B．（幾何證明選講選做題）已知PA是圓O的切線，切點為A，PA=2，AC是圓O的直徑，PC與圓O交于點B，PB=1，則圓O的半徑R的長為

3

3

．

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A．如圖，⊙O的直徑AB的延長線與弦CD的延長線相交于點P，E為⊙O上一點，AE=AC，DE交AB于點F．求證：△PDF∽△POC．
B．已知矩陣A=

.

1 -2 3 -7

.

．
（1）求逆矩陣A^-1；
（2）若矩陣X滿足AX=

3 1

，試求矩陣X．
C．坐標(biāo)系與參數(shù)方程
已知極坐標(biāo)系的極點O與直角坐標(biāo)系的原點重合，極軸與x軸的正半軸重合，曲線C₁：ρcos（θ+

π

4

）=2

2

與曲線C₂：

x=4t2 y=4t

，（t∈R）交于A、B兩點．求證：OA⊥OB．
D．已知x，y，z均為正數(shù)，求證：

x

yz

+

y

zx

+

z

xy

≥

1

x

+

1

y

+

1

z

．

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A．（極坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題） 已知圓ρ=3cosθ，則圓截直線

x=2+2t y=1+4t

（t是參數(shù)）所得的弦長為

 

；
B．（幾何證明選講選做題） 如圖：PA與圓O相切于A，PCB為圓O的割線，并且不過圓心O，已知∠BPA=30°，PA=2

3

，PC=1，則圓O的半徑等于

 

．

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第1卷

一、選擇題

1．D    2．B    3．B    4．C    5．A    6．C    7．B    8．A    9．D    10．C    11．A    12．A

第Ⅱ卷

二、填空題

13．

14．（理）（文）3x+3y－2=0

15．（－3，0）（3，+∞）

16．②④

三、解答題

17．（Ⅰ）這批食品不能出廠的概率是：

（Ⅱ）五項指標(biāo)全部檢驗完畢，這批食品可以出廠的概率是：

五項指標(biāo)全部檢驗完畢，這批食品不能出廠的概率是：

由互斥事件有一個發(fā)生的概率加法公式可知，五項指標(biāo)全部檢驗完畢，

才能確定這批食品出廠與否的概率是：

18．（Ⅰ）設(shè)f（x）＝ax+b（a≠0），則c的方程為：

      ①

由點（2，）在曲線c上，得1＝（2一b）．      ②

由①②解得a＝b＝1，∴曲線c的方程為y＝x－1．

（Ⅱ）由，點（n+1，）底曲線c上，有＝n

于是．?…?，

即

注意到a1＝1，所以a_n＝（n－1）!

（Ⅲ）

∴．

19．（甲）（Ⅰ）選取DA1、DC、DD1，分別為Ox、Oy、Oy軸建立空間直角坐標(biāo)，易知E（0，0，），F(xiàn)（，，0），B1（1，1，1），C（0，1，0），

，

＝0，

．

（Ⅱ）G（0，，－1），C_l（0，1，1），

．

（Ⅲ），

（乙）

（Ⅰ）用反證法易證B₁D₁與A₁D不垂直．

（Ⅱ）由余弦有cos∠AC₁D₁=

設(shè)AC₁=x，則

上

單調(diào)遞增．

（Ⅲ）∵A₁B₁∥C₁D₁，∴∠AC₁D₁為異面直線AC₁與A₁B₁所成角．

由余弦定理，有

設(shè)AC₁＝x，則

故AC₁與A₁B₁所成角的取值范圍是

20．（理）解：

（Ⅰ）∵f（x）與g（x）的圖像關(guān)于直線x－1＝0對稱，

∴f（x）＝g（2－x）．

，

f（x）＝g（2一x）＝－ax+2x³．

又f（x）是偶函數(shù)，∴

f（x）=f（－x）＝ax一2x³．

（Ⅱ）f（x）＝a－6x²，∵f（x）為[0，1]上的增函數(shù)．

∴f'（x）＝a－6x²≥0，

∴a≥6x²在上，恒成立．

∵x[0，1）時，6x²≤6，∴a≥6．

即a的取值范圍是[6，+∞）．

（Ⅲ）當(dāng)a在[0，1）上的情形．

由f'（x）=0，得得a=6．此時x＝1

∴當(dāng)a（－6，6）時，f（x）的最大值不可能是4．

（文）

（1）

（2）根據(jù)題意可得，

整理得（a^x－a）（a^x+a^－1）<0．

由于a>1，所以x<1．

即．

21．解：

（Ⅰ）∵|PF₁|一|PF₂|=2a，又|PF₁|＝3|PF₂|．

∴|PF₁|＝3a，|PF₂|＝a．

設(shè)F₁（－c，0），F(xiàn)₂（c，0），P（x₀，y₀），由得3a=ex₀+a，則x₀=．

∵P在雙曲線右支上，∴x₁≥a，即≥a，解得

1<e≤2．

∴e的最大值為2，此時

∴漸近線方程為，

（Ⅱ）．

又．

∴．

又．

．

∴b²=C²－a²＝6．

∴雙曲線方程為．

22．（理）解：

（1）可求得f（x）＝．

由f（x）<f（1）得．

整理得（a^x－a）（a^x+a^―1）<0．

由于a>l，所以x<1．

（Ⅱ）

＝,

由，

，

即f（2）>2f（1）．

即f（3）>3f（1）．

（Ⅲ）更一般地，有：f（n）>nf（1）  （n ^*，n≥2）．

用數(shù)學(xué)歸納法證明，

①由（Ⅱ）知n＝2，3時，不等式成立．

②假設(shè)n＝k時，不等式成立，即f（k）>kf（1）．

．

這說明n＝k+1時，不等式也成立．

由①②可知，對于一切，均有f（x）>nf（1）．

（文）解：

（Ⅰ）∵f（x）與g（x）的圖像關(guān)于直線x－1＝0對稱．

∴f（x）＝g（2－x），當(dāng)x[－1，0]時，2一x[2，3]

f（x）＝g（2一x）＝一ax+2x³．

又∵f（x）是偶函數(shù)，∴x[0，1]時，一x[一1，0]

f（x）＝f（一x）＝ax一2x³．

（Ⅱ）上的增函數(shù)．

上恒成立

．

即a的取值范圍是[6，+∞]．

（Ⅲ）只考慮在[0，1）上的情形．

由．

∴當(dāng)的最大值不可能是4．