已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn.且滿足4Sn＝3an+8n2-3.(1)求數(shù)列{an}的通項公式,(2)設(shè)bn＝(an-2)an(an+2).求證:++-+＜. 撫州市2009屆高三統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試題(理) 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足an+2Sn•Sn-1=0（n≥2），a1=
1
2
．
（1）求證：{
1
Sn
}是等差數(shù)列；
（2）求an的表達(dá)式．

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已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足Sn=2an-n，（n∈N*）
（Ⅰ）求a1，a2，a3的值；
（Ⅱ）求數(shù)列{an}的通項公式；
（Ⅲ）若bn=（2n+1）an+2n+1，數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，求滿足不等式
Tn-22n-1
≥128的最小n值．

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已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足Sn=1-an（n∈N*）．各項為正數(shù)的數(shù)列{bn}中，
對于一切n∈N*，有
n
k=1
1
bk
+
bk+1
=
n
b1
+
bn+1
，且b1=1，b2=2，b3=3．
（1）求數(shù)列{an}和{bn}的通項公式；
（2）設(shè)數(shù)列{anbn}的前n項和為Tn，求證：Tn＜2．

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已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足Sn=2an-2n（n∈N*）•
（I）設(shè)bn=an+2，求數(shù)列{bn}的通項公式；
（II）若數(shù)列{cn}滿足cnlog2bn，求數(shù)列{
cnbn
}的前n項和Tn．

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已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足an+Sn=2．
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）求證數(shù)列{an}中不存在任意三項按原來順序成等差數(shù)列；
（3）若從數(shù)列{an}中依次抽取一個無限多項的等比數(shù)列，使它的所有項和S滿足
4
61
＜S＜
1
13
，這樣的等比數(shù)列有多少個？

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1.A　2.B　3.A　4.D　5.C　6.A　7.D　8.B　9.B　10.D　11.B　12.D

13.－3　14.7　15.①④　16.3

17.解：(1)f(x)＝Acos2(ωx＋φ)＋1＝cos(2ωx＋2φ)＋＋1.

又A＞0，ω＞0,0＜φ＜，∴f(x)的最大值為A＋1，最小值為1.

由f(x)的最大值與最小值的差為2，∴A＝2.

由f(x)過點(0,2)，f(0)＝cos 2φ＋2＝2，∴φ＝，

則T＝4π＝，∴ω＝，f(x)＝cos(x＋)＋2＝2－sinx.6分

(2)∵B＝，∴b＝f(B)＝2－sin(?)＝.

設(shè)A，C所對的邊分別為a，c，由余弦定理得＝a2＋c2－2accos，＋ac＝a2＋c2≥2ac，ac≤，

當(dāng)且僅當(dāng)a＝c＝時等號成立，△ABC的面積S＝acsin≤.12分

18.解：(1)某應(yīng)聘者能被聘用的概率為p0＝1－(1－)(1－)(1－p)＝＋p.4分

(2)在4位應(yīng)聘者中恰好有2人被聘用的概率為CP?(1－P0)2，

由于p0(1－p0)≤()2，當(dāng)p0＝1－p0，即p0＝時，p0(1－p0)取最大值，

此時＋p＝，解得p＝.7分

(3)4位應(yīng)聘者中被聘用人數(shù)ξ的取值為0,1,2,3,4，

P(ξ＝0)＝C()4()0＝，P(ξ＝1)＝C()3()1＝，

P(ξ＝2)＝C()2()2＝，P(ξ＝3)＝C()1()3＝，

P(ξ＝4)＝C()0()4＝，

其分布列為

ξ

0

1

2

3

4

p

由于ξ服從二項分布，所以Eξ＝2.12分

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19.解：(1)連AQ，∠PQA是PQ與平面ABCD所成角，AQ＝2，BQ＝2，即Q是BC的中點，過Q作QH⊥AD于H，則QH⊥平面PAD，過Q作QM⊥PD，連MH，則∠QMH為所求二面角的平面角.

在Rt△PAD中，＝⇒MH＝＝＝，

所以tan∠QMH＝＝＝，

從而所求二面角的大小為arctan .6分

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(2)由于Q是BC的中點，可得DQ⊥PQ，

⇒面PAQ⊥面PDQ，

過A作AG⊥PQ于G，則AG為點A到平面PQD的距離.

AG＝＝＝.12分

另解：分別以AD，AB，AP為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

由條件知Q是BC的中點，面PAD的一個法向量是＝(0,2,0).

又D(4,0,0)，Q(2,2,0)，P(0,0,4)，

故＝(0,2,0)，＝(－4,0,4)，

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設(shè)面PDQ的法向量為n＝(x，y，z)，

則⇒由此可取n＝(1,1,1)，

從而(1)cos〈，n〉＝＝＝.

(2)面PDQ的一個法向量為n＝(1,1,1)，＝(2,2,0)，

故點A到平面PDQ的距離d＝＝＝.

20.解：(1)設(shè)f(x)＝(k為非零常數(shù))，易得f(x)＝(1≤x≤2).3分

(2)f′(x)＝－，f′(t)＝－，點P(t，)，∴l(xiāng)：y－＝－(x－t)，即l：y＝－x＋.l在x軸和y軸上的截距分別是2t和.

①當(dāng)＞3，即t＜時，2t＜＜3，此時f(t)＝＝(8t－3t2).

②當(dāng)≤3，且2t≤3即≤t≤時，f(t)＝?2t?＝4.

③當(dāng)2t＞3，即t＞時，此時＜3，f(t)＝＝(4t－3).

故f(t)＝8分

當(dāng)1≤t＜時，f′(t)＝(4－3t)＞0，f(t)為增函數(shù)；當(dāng)＜t≤2時，f′(t)＝＜0，f(t)為減函數(shù)，且f(t)在[1,2]上連續(xù)，所以f(t)max＝4.12分

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21.解：(1)設(shè)∠MAB＝θ，M(x，y)，則∠MBA＝2θ，tan θ＝，tan 2θ＝，tan 2θ＝⇒x2－＝1(x＜－1).4分

(2)設(shè)CD：y＝－3x＋m，

⇒6x2－6mx＋m2＋3＝0.

由于此方程在(－∞，－1)內(nèi)有兩個不同的根，易求得m＜－.

設(shè)C(x1，y1)，D(x2，y2)，并設(shè)點C在直線l的上方，則

y1＝－3x1＋m，y2＝－3x2＋m.

假設(shè)A，B，C，D四點共圓，由于∠CBA＝2∠CAB，∠DBA＝2∠DAB，

故∠CBD＝2∠CAD，由此∠CAD＝60°.

tan 60°＝＝.

⇒＝

⇒＝

⇒＝－⇒(x1－x2)2＝(m＋6)2

⇒m＝－＜－.

∴x1＋x2＝m＝－，y1＋y2＝－3(x1＋x2)＋2m＝，從而CD中點為(－，)，代入直線l的方程得＝－×＋b⇒b＝.

故存在b＝滿足題設(shè)條件.12分

22.解：(1)令n＝1得a1＝5.

由4Sn＝3an＋8n2－3

得4Sn－1＝3an－1＋8(n－1)2－3

兩式相減得an＝－3an－1＋16n－8.

設(shè)此式可寫成an－pn－q＝－3[an－1－p(n－1)－q]，可解得p＝4，q＝1，

于是an－4n－1＝(－3)n－1(a1－4×1－1)，而a1＝5，故有an＝4n＋1.6分

(注：也可以采取先猜，后用數(shù)學(xué)歸納法證的辦法得出通項)

(2)由bn＝(4n－1)(4n＋1)(4n＋3)有

＝＝(－)

＝(－)

＜(－).

＋＋…＋＜[(－)＋(－)＋…＋(－)]

＝[－]＜＝.14分

 

 

 


同步練習(xí)冊答案