題目列表(包括答案和解析)
(本題滿分14分)
已知實數(shù),曲線與直線的交點為(異于原點),在曲線 上取一點,過點作平行于軸,交直線于點,過點作平行于軸,交曲線于點,接著過點作平行于軸,交直線于點,過點作平行于軸,交曲線于點,如此下去,可以得到點,,…,,… . 設(shè)點的坐標為,.
(Ⅰ)試用表示,并證明;
(Ⅱ)試證明,且();
(Ⅲ)當時,求證: ().(本題滿分14分)
已知函數(shù)圖象上一點處的切線方程為.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)若方程在內(nèi)有兩個不等實根,求的取值范圍(其中為自然對數(shù)的底數(shù));
(Ⅲ)令,若的圖象與軸交于,(其中),的中點為,求證:在處的導(dǎo)數(shù).
(本題滿分14分)
已知曲線方程為,過原點O作曲線的切線
(1)求的方程;
(2)求曲線,及軸圍成的圖形面積S;
(3)試比較與的大小,并說明理由。(本題滿分14分)
已知中心在原點,對稱軸為坐標軸的橢圓,左焦點,一個頂點坐標為(0,1)
(1)求橢圓方程;
(2)直線過橢圓的右焦點交橢圓于A、B兩點,當△AOB面積最大時,求直線方程。
(本題滿分14分)
如圖,在直三棱柱中,,,求二面角的大小。
一、選擇題:
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
二、填空題:
11. ; 12. ; 13. ;
14. ; 15. ; 16. ③ ④ .
三、解答題:
17.解:(1)在中,由,得, 又由正弦定理: 得:. ……………………4分
(2)由余弦定理:得:,
即,解得或(舍去),所以. ……8分
所以,
即. …………………12分
18.解:(1)依題意,雙曲線的方程可設(shè)為:、,
則 解之得:,
所以雙曲線的方程為:. ……………………6分
(2)設(shè)、,直線與軸交于點,此點即為雙曲線的右焦點,由 消去,得,
此方程的且,,
所以、兩點分別在左、右支上,不妨設(shè)在左支、在右支上 ………9分
則由第二定義知:,, …………11分
所以
,即. ………14分
(亦可求出、的坐標,用兩點間距離公式求.)
19.(1)當點為的中點時,與平面平行.
∵在中,、分別為、的中點
∴∥ 又平面,而平面
∴∥平面. ……………………4分
(2)證明(略證):易證平面,又是在平面內(nèi)的射影,,∴. ……………………8分
(3)∵與平面所成的角是,∴,,.
過作于,連,則. …………………10分
易知:,,設(shè),則,,
在中,,
得. ………14分
解法二:(向量法)(1)同解法一
(2)建立圖示空間直角坐標系,則, ,,.
設(shè),則
∴ (本小題4分)
(3)設(shè)平面的法向量為,由,
得:,
依題意,∴,
得. (本小題6分)
20.解:(1),
∴可設(shè),
因而 ①
由 得 ②
∵方程②有兩個相等的根,
∴,即 解得 或
由于,(舍去),將 代入 ① 得 的解析式. …………………6分
(2)=,
∵在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減,
∴在上的函數(shù)值非正,
由于,對稱軸,故只需,注意到,∴,得或(舍去)
故所求a的取值范圍是. …………………11分
(3)時,方程僅有一個實數(shù)根,即證方程 僅有一個實數(shù)根.令,由,得,,易知在,上遞增,在上遞減,的極大值,的極小值,故函數(shù)的圖像與軸僅有一個交點,∴時,方程僅有一個實數(shù)根,得證. ……………………16分
21.解:(1), ……………………1分
=. ……………………4分
(2), ……………………5分
,………7分
∴數(shù)列是為首項,為公比的等比數(shù)列. ……………………8分
(3)由(2)知, Sn =, ……………9分
=∵0<<1,∴>0,,0<<1,,
∴, ……………………11分
又當時,,∴, ……………………13分
∴<.……14分
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