∴二面角的正弦值為----------------12分 查看更多

 

題目列表(包括答案和解析)

已知三棱錐A-BCD中,∠BCD=90°,BC=CD=1,AB⊥面BCD,∠ADB=60°,點(diǎn)E、F分別在AC、AD上,使面BEF⊥ACD,且EF∥CD,則平面BEF與平面BCD所成的二面角的正弦值為(  )

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正四棱錐側(cè)棱與底面成45°角,則側(cè)面與底面所成二面角的正弦值為( 。
A、
6
5
B、
6
6
C、
6
3
D、
6
4

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如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AC⊥AD,AB⊥BC,∠BAC=45°,PA=AD=2,AC=1.

(Ⅰ)證明PC⊥AD;

(Ⅱ)求二面角A-PC-D的正弦值;

(Ⅲ)設(shè)E為棱PA上的點(diǎn),滿足異面直線BE與CD所成的角為30°,求AE的長(zhǎng).

 

【解析】解法一:如圖,以點(diǎn)A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,依題意得A(0,0,0),D(2,0,0),C(0,1,0), ,P(0,0,2).

(1)證明:易得,于是,所以

(2) ,設(shè)平面PCD的法向量

,即.不防設(shè),可得.可取平面PAC的法向量于是從而.

所以二面角A-PC-D的正弦值為.

(3)設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(0,0,h),其中,由此得.

,故 

所以,,解得,即.

解法二:(1)證明:由,可得,又由,,故.又,所以.

(2)如圖,作于點(diǎn)H,連接DH.由,,可得.

因此,從而為二面角A-PC-D的平面角.在中,,由此得由(1)知,故在中,

因此所以二面角的正弦值為.

(3)如圖,因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012071821180638818491/SYS201207182118431693242163_ST.files/image044.png">,故過點(diǎn)B作CD的平行線必與線段AD相交,設(shè)交點(diǎn)為F,連接BE,EF. 故或其補(bǔ)角為異面直線BE與CD所成的角.由于BF∥CD,故.在中,

中,由,,

可得.由余弦定理,,

所以.

 

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(本小題滿分12分)

如圖,在正三棱柱

(I)若,求點(diǎn)到平面的距離;

(Ⅱ)當(dāng)為何值時(shí),二面角的正弦值為?

 

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(08年溫州八校適應(yīng)性考試三) (14分)如圖,正三棱柱中,中點(diǎn).AB=2

(Ⅰ)求證://平面

(Ⅱ) 當(dāng)為何值時(shí),二面角的正弦值為?

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