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題目列表(包括答案和解析)

（本題滿分12分，任選一題作答．）
Ⅰ、如圖①，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點，邊長為5的正三角形OAB的OA邊在x軸的正半軸上．點C、D同時從點O出發(fā)，點C以1單位長/秒的速度向點A運動，點D以2個單位長/秒的速度沿折線OBA運動．設(shè)運動時間為t秒，0＜t＜5．
（1）當(dāng)0＜t＜
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時，證明DC⊥OA；
（2）若△OCD的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）以點C為中心，將CD所在的直線順時針旋轉(zhuǎn)60°交AB邊于點E，若以O(shè)、C、E、D為頂點的四邊形是梯形，求點E的坐標(biāo)．
Ⅱ、（1）如圖Ⅱ-1，已知△ABC，過點A畫一條平分三角形面積的直線；
（2）如圖Ⅱ-2，已知l1∥l2，點E，F(xiàn)在l1上，點G，H在l2上，試說明△EGO與△FHO面積相等．
（3）如圖Ⅱ-3，點M在△ABC的邊上，過點M畫一條平分三角形面積的直線．

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（本題滿分12分）如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，P為AB的中點，Q為邊CD上一動點，設(shè)DQ＝t（0≤t≤2），線段PQ的垂直平分線分別交邊AD、BC于點M、N，過Q作QE⊥AB于點E，過M作MF⊥BC于點F．
（1）當(dāng)t≠1時，求證：△PEQ≌△NFM；
（2）順次連接P、M、Q、N，設(shè)四邊形PMQN的面積為S，求出S與自變量t之間的函數(shù)關(guān)系式，并求S的最小值．
 

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(本題滿分12分) 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于點A、B

(點A在點B的左側(cè))，與y軸交于點C(0，4)，頂點為(1，)．

(1)求拋物線的函數(shù)解析式；

(2)拋物線的對稱軸與x軸交于點D，點P在對稱軸上且使△CDP為等腰三角形．請直接寫出滿足條件的所有點的坐標(biāo)P；

(3)若點E是線段AB上的一個動點(與點A、B不重合)，連接AC、BC，過點E作EF∥AC交線段BC于點F，連接CE，記△CEF的面積為S，S是否存在最大值？若存在，請求出S的最大值及此時點E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

 

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（本題滿分12分）在中，是邊的中點，交于點．動點從點出發(fā)沿射線以每秒厘米的速度運動．同時，動點從點出發(fā)沿射線運動，且始終保持設(shè)運動時間為秒（）．
（1）與相似嗎？以圖１為例說明理由；
（2）若厘米．
①求動點的運動速度；
②設(shè)的面積為（平方厘米），求與的函數(shù)關(guān)系式；
（3）探求三者之間的數(shù)量關(guān)系，以圖１為例說明理由．

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（本題滿分12分）為了探究三角形的內(nèi)切圓半徑r與周長、面積S之間的關(guān)系，在數(shù)學(xué)實驗活動中，選取等邊三角形(圖甲)和直角三角形(圖乙)進(jìn)行研究.⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，切點分別為點D、E、F.

(1)用刻度尺分別量出表中未度量的△ABC的長，填入空格處，并計算出周長和面積S.(結(jié)果精確到0.1厘米)

　

AC

BC

AB

r

S

圖甲

　

　

　

0.6

　

　

圖乙

　

　

　

1.0

　

　

(2)觀察圖形，利用上表實驗數(shù)據(jù)分析.猜測特殊三角形的r與、S之間關(guān)系，并證明這種關(guān)系對任意三角形(圖丙)是否也成立?

(3)　　　　　　　

 

 

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一、填空題：

1．60°．

2．答案不惟一，如：AE=CF，∠AEB=∠CFD,∠ ABE=∠CDF；

3．1；

4.4。

5.60

7．2－2     

8.15。

9.5

10.4

11.5

12. 2,3,n。

14．

 

15. (-8,0)。

 

16.6。

17. .平行四邊形。

18.60

19．4，12           

二、選擇題：

1．C

 

2．C

3.B

4.B

 

5.B

6.A

 

7.C。

 

8.B。

 

9.C

 

10.D

 

 

11.C。

 

12.B

13.B　

14.C　

15.D

16. C

17．C   

18．D    

19.D

20.C

21.D

22.D。

三、解答題：

1．（1）如圖答2，因為AD∥BC，AB∥DC  ------------------------------------------------- 2分

所以四邊形ABCD為平行四邊形．---------------------------------------------------------------- 3分

分別過點B、D作BF⊥AD，DE⊥AB，垂足分別為點E、F．

則BE = CF．-------------------------------------------------------------------------------------------- 4分

因為∠DAB =∠BAF，所以Rt△DAB≌Rt△BAF．--------------------------------------------- 5分

所以AD = AB．            

所以四邊形ABCD為菱形．-------------------------------------------------------------------------- 6分

（2）存在最小值和最大值．-------------------------------------------------------------------------- 7分

① 當(dāng)∠DAB = 90°時，菱形ABCD為正方形，周長最小值為8；---------------------------8分

② 當(dāng)AC為矩形紙片的對角線時，設(shè)AB = x，如圖答3，在Rt△BCG中，

，．所以周長最大值為17．-------------------------------------------9分

          

 

 

                                                                                                 

 

 

 

 

 

 

 

 

  2．證明：  ∵EF垂直平分AC，∴EF⊥AC，且AO＝CO-------------------------------1′       

              證得：△AOE≌△COF-----------------------------------------------------------3′

          證得：四邊形AECF是平行四邊形------------------------------------------------5′

　　　    由AC⊥EF可知：四邊形AECF是菱形 -------------------------------------------6′

 

 

5．（本題滿分8分）

解：（1）方法一：如圖①

∵在□ ABCD中，AD∥BC

∴∠DAB＋∠ABC＝180°                  ………………………1分

∵AE、BF分別平分∠DAB和∠ABC

∴∠DAB＝2∠BAE，∠ABC＝2∠ABF              ………………………2分

∴2∠BAE＋2∠ABF＝180°

即∠BAE＋∠ABF＝90°                 ………………………3分

∴∠AMB＝90°

∴AE⊥BF．                                     …………………………4分

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圖②
 
 
 
 
 
 
方法二：如圖②,延長BC、AE相交于點P      
∵在□ABCD中，AD∥BC
∴∠DAP＝∠APB                                             
 …………………………1分
∵AE平分∠DAB
∴∠DAP＝∠PAB          
                                    …………………………2分
∴∠APB＝∠PAB
∴AB＝BP                                                             
     ………………………3分
∵BF平分∠ABP
∴:AP⊥BF
即AE⊥BF．                            
                               ………………………4分
(2)方法一：線段DF與CE是相等關(guān)系，即DF＝CE      ………………5分
∵在□ABCD中，CD∥AB
∴∠DEA＝∠EAB
又∵AE平分∠DAB
∴∠DAE＝∠EAB
∴∠DEA＝∠DAE
∴DE＝AD                                         ………………………6分
同理可得，CF＝BC                               ………………………7分
又∵在□ABCD中，AD＝BC
∴DE＝CF
∴DE－EF＝CF－EF
即DF＝CE．                                        
………………………8分
方法二：如右圖,延長BC、AE設(shè)交于點P，延長AD、BF相交于點O       …5分
∵在□ABCD中，AD∥BC
∴∠DAP＝∠APB                                              
    
∵AE平分∠DAB
∴∠DAP＝∠PAB                                             
    
∴∠APB＝∠PAB
∴BP＝AB 
同理可得，AO＝AB                 

   
∴AO＝BP                                   ………………………6分
        ∵在□ABCD中，AD＝BC
        ∴OD＝PC
 又∵在□ABCD中，DC∥AB
       ∴△ODF∽△OAB，△PCE∽△PBA                  ………………………7分
       ∴＝，＝
      
∴DF＝CE．                                        
                            ………………………8分
 
6.�。�1）（2）略　　�。�3）設(shè)BC=x，則DC＝x  ,BD＝，CF＝（－1）x
GD2=GE?GB=4－2     
DC2+CF2=(2GD)2 　　即　x2+（－1）2x2＝4（4－2）
（4－2）x2＝4（4－2）  　　x2＝4　　　正方形ABCD的面積是4個平方單位
 
 
7．（本小題滿分5分）
證明：∵  AB∥CD
∴                …………1分
∵  
∴  △ABO≌△CDO                
…………3分
∴                      …………4分
∴  四邊形ABCD是平行四邊形       …………5分
 
 
 
 
 
11．證明：（1）①在和中，
，，，????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分
．????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 3分
②，
．?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分
，
 
12．（本題7分）
解：（1）在梯形中，，
，，
，
．
，
，
．
．?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分
．???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 3分
，，
．?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分
與的函數(shù)表達(dá)式是
；??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 5分
（2）
．?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 6分
當(dāng)時，有最大值，最大值為．??????????????????????????????????????????????????????????????????? 7分
 
 
 
13．證明：菱形中，．???????????????????? 1分
分別是的中點，
．?????????????????? 3分
又，．????????????????? 5分
．??????????????????????????????? 7分
14.

15．證明：四邊形是平行四邊形，，．
．??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 1分
平分，．????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分
．??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 3分
．??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分
又，．???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 5分
 
16．解：（1）①40．?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分
②0． ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分
（2）不合理．例如，對兩個相似而不全等的矩形來說，它們接近正方形的程度是相同的，但卻不相等．合理定義方法不唯一，如定義為．越小，矩形越接近于正方形；越大，矩形與正方形的形狀差異越大；當(dāng)時，矩形就變成了正方形．???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 6分
17．解：（1）正方形中，，．
又，因此，即菱形的邊長為．
在和中，，
，，
．．
，，
，即菱形是正方形．
同理可以證明．
因此，即點在邊上，同時可得，
從而．????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分
（2）作，為垂足，連結(jié)，
，，
，．
．
在和中，，，
．
，即無論菱形如何變化，點到直線的距離始終為定值2．
因此．??????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 6分
（3）若，由，得，此時，在中，．
相應(yīng)地，在中，，即點已經(jīng)不在邊上．
故不可能有．???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 9分
另法：由于點在邊上，因此菱形的邊長至少為，
當(dāng)菱形的邊長為4時，點在邊上且滿足，此時，當(dāng)點逐漸向右運動至點時，的長（即菱形的邊長）將逐漸變大，最大值為．
此時，，故．
而函數(shù)的值隨著的增大而減小，
因此，當(dāng)時，取得最小值為．
又因為，所以，的面積不可能等于1．????????????????????? 9分
18.
19．證明：在等腰中，，．
　　　　　，，．又，
　　　　　．????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 3分
　　　　　．．
　　　　　．．．?????????????????? 5分
　　　　　又不平行，四邊形是梯形．??????????????????????????????????? 7分
　　　　　四邊形是等腰梯形．（理由：同一底上的兩底角相等的梯形是等腰梯形，或兩腰相等的梯形是等腰梯形）?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 8分
 
20．解：（1）在矩形中，，，
．……………………1分
　　　　，．
　　　　，即，
		




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