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題目列表(包括答案和解析)

(本小題滿分6分,請在下列兩個小題中,任選其一完成即可)
(1)解方程:x2+3x-2=0;
(2)如圖,在邊長為1個單位長度的正方形方格紙中建立直角坐標系,△ABC各頂點的坐標為:A(-5,4)、B(-1,1)、C(-5,1).
①將△ABC繞著原點O順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△A′B′C′,請在圖中畫出△A′B′C′;
②寫出A′點的坐標.

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加試題(本小題滿分20分,其中(1)、(2)、(3)題各3分,(4)題11分)
(1)一個正數(shù)的平方根為3-a和2a+3,則這個正數(shù)是
81
81

(2)若x2+2x+y2-6y+10=0,則xy=
-1
-1

(3)已知a,b分別是6-
13
的整數(shù)部分和小數(shù)部分,則2a-b=
13
13

(4)閱讀下面的問題,并解答問題:
1)如圖1,等邊△ABC內(nèi)有一點P,若點P到頂點A,B,C的距離分別為3,4,5,求∠APB的度數(shù)是多少?(請在下列橫線上填上合適的答案)
分析:由于PA,PB,PC不在同一個三角形中,為了解決本題我們可以將△ABP繞頂點A逆時針旋轉(zhuǎn)到△ACP′處,此時可以利用旋轉(zhuǎn)的特征等知識得到:
  ①∠APB=∠AP′C=∠AP′P+∠PP′C;
  ②AP=AP′,且∠PAP′=
60
60
度,所以△APP′為
等邊
等邊
三角形,則∠AP′P=
60
60
度;
  ③P′C=BP=4,P′P=AP=3,PC=5,所以△PP′C為
直角
直角
三角形,則∠PP′C=
90
90
度,從而得到∠APB=
150
150
度.
 2)請你利用第1)題的解答方法,完成下面問題:
如圖2,在△ABC中,∠CAB=90°,AB=AC,E、F為邊BC上的點,且∠EAF=45°,試說明:EF2=BE2+FC2

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(本小題滿分14分)如圖,在等腰梯形ABCD中,AB=DC=5,AD=4,BC=10.點

E在下底邊BC上,點F在腰AB上.

(1)若EF平分等腰梯形ABCD的周長,設(shè)BE長為x,試用含x的代數(shù)式表示△BEF的面積;

(2)是否存在線段EF將等腰梯形ABCD的周長和面積同時平分?若存在,求出此時BE的長;若不存在,請說明理由;

(3)是否存在線段EF將等腰梯形ABCD的周長和面積同時分成1∶2的兩部分?若存在,求出此時BE的長;若不存在,請說明理由.

 

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(本小題滿分12分)

   如圖,在平面直角坐標系中,△ABC的A、B兩個頂點在x軸上,頂點C在y軸的負半軸上.已知,△ABC的面積,拋物線

經(jīng)過A、B、C三點。

   1.(1)求此拋物線的函數(shù)表達式;

   2.(2)設(shè)E是y軸右側(cè)拋物線上異于點B的一個動點,過點E作x軸的平行線交拋物線于另一點F,過點F作FG垂直于x軸于點G,再過點E作EH垂直于x軸于點H,得到矩形EFGH.則在點E的運動過程中,當矩形EFGH為正方形時,求出該正方形的邊長;

   3.(3)在拋物線上是否存在異于B、C的點M,使△MBC中BC邊上的高為?若存在,求出點M的坐標;若不存在,請說明理由.

 

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(本小題滿分10分)在△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,將△ABC繞頂點C順時針旋轉(zhuǎn),旋轉(zhuǎn)角為(0°<<180°),得到△A1B1C

(1)如圖1,當ABCB1時,設(shè)A1B1BC相交于點D.證明:△A1CD是等邊三角形;

(2)如圖2,連接AA1、BB1,設(shè)△ACA1和△BCB1的面積分別為S1、S2

求證:S1S2=1∶3;

(3)如圖3,設(shè)AC的中點為E,A1B1的中點為PACa,連接EP.當等于多少度時,EP的長度最大,最大值是多少?

 

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一、填空題:

160°.

2.答案不惟一,如:AE=CF,∠AEB=∠CFD,∠ ABE=∠CDF;

3.1;

4.4。

5.60

7.2-2     

8.15。

9.5

10.4

11.5

12. 2,3,n。

14.

 

15. (-8,0)。

 

16.6。

17. .平行四邊形。

18.60

19.4,12           

二、選擇題:

1.C

 

2.C

3.B

4.B

 

5.B

6.A

 

7.C。

 

8.B。

 

9.C

 

10.D

 

 

11.C。

 

12.B

13.B 

14.C 

15.D

16. C

17.C   

18.D    

19.D

20.C

21.D

22.D。

三、解答題:

11如圖答2,因為AD∥BC,AB∥DC  ------------------------------------------------- 2分

所以四邊形ABCD為平行四邊形.---------------------------------------------------------------- 3分

分別過點B、D作BF⊥AD,DE⊥AB,垂足分別為點E、F.

則BE = CF.-------------------------------------------------------------------------------------------- 4分

因為∠DAB =∠BAF,所以Rt△DAB≌Rt△BAF.--------------------------------------------- 5分

所以AD = AB.            

所以四邊形ABCD為菱形.-------------------------------------------------------------------------- 6分

(2存在最小值和最大值.-------------------------------------------------------------------------- 7分

① 當∠DAB = 90°時,菱形ABCD為正方形,周長最小值為8;---------------------------8分

② 當AC為矩形紙片的對角線時,設(shè)AB = x,如圖答3,在Rt△BCG中,

,.所以周長最大值為17.-------------------------------------------9分

          

 

 

                                                                                                 

 

 

 

 

 

 

 

 

  2.證明:  ∵EF垂直平分AC,∴EF⊥AC,且AO=CO-------------------------------1′       

              證得:△AOE≌△COF-----------------------------------------------------------3′

          證得:四邊形AECF是平行四邊形------------------------------------------------5′

       由AC⊥EF可知:四邊形AECF是菱形 -------------------------------------------6′

 

 

5.(本題滿分8分)

解:(1)方法一:如圖①

∵在 ABCD中,ADBC

∴∠DAB+∠ABC=180°                  ………………………1分

AEBF分別平分∠DAB和∠ABC

∴∠DAB=2∠BAE,∠ABC=2∠ABF              ………………………2分

∴2∠BAE+2∠ABF=180°

即∠BAE+∠ABF=90°                 ………………………3分

∴∠AMB=90°

AEBF                                     …………………………4分

    圖②

     

     

     

     

     

     

    方法二:如圖②,延長BC、AE相交于點P     

    ∵在ABCD中,AD∥BC

    ∴∠DAP=∠APB                                               …………………………1分

    ∵AE平分∠DAB

    ∴∠DAP=∠PAB                                               …………………………2分

    ∴∠APB=∠PAB

    ∴AB=BP                                                                   ………………………3分

    ∵BF平分∠ABP

    ∴:AP⊥BF

    即AE⊥BF.                                                            ………………………4分

    (2)方法一:線段DFCE是相等關(guān)系,即DF=CE     ………………5分

    ∵在ABCD中,CDAB

    ∴∠DEA=∠EAB

    又∵AE平分∠DAB

    ∴∠DAE=∠EAB

    ∴∠DEA=∠DAE

    DEAD                                         ………………………6分

    同理可得,CFBC                               ………………………7分

    又∵在ABCD中,ADBC

    DECF

    DEEFCFEF

    DFCE.                                         ………………………8分

    方法二:如右圖,延長BC、AE設(shè)交于點P,延長AD、BF相交于點O       …5分

    ∵在ABCD中,AD∥BC

    ∴∠DAP=∠APB                                                   

    ∵AE平分∠DAB

    ∴∠DAP=∠PAB                                                  

    ∴∠APB=∠PAB

    ∴BP=AB

    同理可得,AO=AB                 

        ∴AO=BP                                   ………………………6分

            ∵在ABCD中,AD=BC

            ∴OD=PC

     又∵在ABCD中,DC∥AB

           ∴△ODF∽△OAB,△PCE∽△PBA                  ………………………7分

           ∴,

           ∴DF=CE.                                                                     ………………………8分

     

    6.。1)(2)略  。3)設(shè)BC=x,則DC=x  ,BD=,CF=(-1)x

    GD2=GE?GB=4-2      DC2+CF2=(2GD)2   即 x2+(-1)2x2=4(4-2

    (4-2)x2=4(4-2)    x2=4   正方形ABCD的面積是4個平方單位

     

     

    7.(本小題滿分5分)

    證明:∵  AB∥CD

    ∴                …………1分

    ∵ 

    ∴  △ABO≌△CDO                 …………3分

    ∴                      …………4分

    ∴  四邊形ABCD是平行四邊形       …………5分

     

     

     

     

     

    11.證明:(1)①在中,

    ,,????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分

    .????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 3分

    .?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分

    ,

     

    12.(本題7分)

    解:(1)在梯形中,

    ,

    ,

    ,

    .?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分

    .???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 3分

    ,

    .?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分

    的函數(shù)表達式是

    ;??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 5分

    (2)

    .?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 6分

    時,有最大值,最大值為.??????????????????????????????????????????????????????????????????? 7分

     

     

     

    13.證明:菱形中,.???????????????????? 1分

    分別是的中點,

    .?????????????????? 3分

    ,.????????????????? 5分

    .??????????????????????????????? 7分

    14.

    15.證明:四邊形是平行四邊形,

    .??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 1分

    平分,.????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分

    .??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 3分

    .??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分

    ,.???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 5分

     

    16.解:(1)①40.?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分

    ②0. ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分

    (2)不合理.例如,對兩個相似而不全等的矩形來說,它們接近正方形的程度是相同的,但卻不相等.合理定義方法不唯一,如定義為越小,矩形越接近于正方形;越大,矩形與正方形的形狀差異越大;當時,矩形就變成了正方形.???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 6分

    17.解:(1)正方形中,

    ,因此,即菱形的邊長為

    中,,

    ,

    ,,

    ,即菱形是正方形.

    同理可以證明

    因此,即點邊上,同時可得

    從而.????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分

    (2)作,為垂足,連結(jié),

    ,

    ,

    中,,,

    ,即無論菱形如何變化,點到直線的距離始終為定值2.

    因此.??????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 6分

    (3)若,由,得,此時,在中,

    相應(yīng)地,在中,,即點已經(jīng)不在邊上.

    故不可能有.???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 9分

    另法:由于點在邊上,因此菱形的邊長至少為,

    當菱形的邊長為4時,點邊上且滿足,此時,當點逐漸向右運動至點時,的長(即菱形的邊長)將逐漸變大,最大值為

    此時,,故

    而函數(shù)的值隨著的增大而減小,

    因此,當時,取得最小值為

    又因為,所以,的面積不可能等于1.????????????????????? 9分

    18.

    19.證明:在等腰中,

         ,,.又

         .????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 3分

         

         .?????????????????? 5分

         又不平行,四邊形是梯形.??????????????????????????????????? 7分

         四邊形是等腰梯形.(理由:同一底上的兩底角相等的梯形是等腰梯形,或兩腰相等的梯形是等腰梯形)?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 8分

     

    20.解:(1)在矩形中,,

    .……………………1分

        ,

        ,即,

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