(3) 若GE?GB＝4-2.求 正方形ABCD的面積． 【查看更多】

 

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 已知：如圖，O正方形ABCD的中心，BE平分∠DBC，交DC于點(diǎn)E，延長(zhǎng)BC到點(diǎn)F　，使CF＝CE，連結(jié)DF，交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，連結(jié)OG．

（1）求證：△BCE≌△DCF；

（2）OG與BF有什么數(shù)量關(guān)系？證明你的結(jié)論；

（3）若GE·GB＝4－2，求　正方形ABCD的面積．

 

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已知：如圖，O正方形ABCD的中心，BE平分∠DBC，交DC于點(diǎn)E，延長(zhǎng)BC到點(diǎn)F　，使CF＝CE，連結(jié)DF，交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，連結(jié)OG．

【小題1】求證：△BCE≌△DCF；
【小題2】OG與BC有什么數(shù)量關(guān)系？證明你的結(jié)論
【小題3】若GE·GB＝4－2，求　正方形ABCD的面積

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已知：如圖，O正方形ABCD的中心，BE平分∠DBC，交DC于點(diǎn)E，延長(zhǎng)BC到點(diǎn)F　，使CF＝CE，連結(jié)DF，交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，連結(jié)OG．

1.求證：△BCE≌△DCF；

2.OG與BC有什么數(shù)量關(guān)系？證明你的結(jié)論

3.若GE·GB＝4－2，求　正方形ABCD的面積

 

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已知：如圖，O正方形ABCD的中心，BE平分∠DBC，交DC于點(diǎn)E，延長(zhǎng)BC到點(diǎn)F　，使CF＝CE，連結(jié)DF，交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，連結(jié)OG．
⑴ 求證：△BCE≌△DCF；
⑵ OG與BF有什么數(shù)量關(guān)系？證明你的結(jié)論；
⑶ 若GE·GB＝4－2，求　正方形ABCD的面積．
 

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已知：如圖，O正方形ABCD的中心，BE平分∠DBC，交DC于點(diǎn)E，延長(zhǎng)BC到點(diǎn)F　，使CF＝CE，連結(jié)DF，交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，連結(jié)OG．

⑴ 求證：△BCE≌△DCF；

⑵ OG與BF有什么數(shù)量關(guān)系？證明你的結(jié)論；

⑶ 若GE·GB＝4－2，求　正方形ABCD的面積．

 

   

 

 

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一、填空題：

1．60°．

2．答案不惟一，如：AE=CF，∠AEB=∠CFD,∠ ABE=∠CDF；

3．1；

4.4。

5.60

7．2－2     

8.15。

9.5

10.4

11.5

12. 2,3,n。

14．

 

15. (-8,0)。

 

16.6。

17. .平行四邊形。

18.60

19．4，12           

二、選擇題：

1．C

 

2．C

3.B

4.B

 

5.B

6.A

 

7.C。

 

8.B。

 

9.C

 

10.D

 

 

11.C。

 

12.B

13.B　

14.C　

15.D

16. C

17．C   

18．D    

19.D

20.C

21.D

22.D。

三、解答題：

1．（1）如圖答2，因?yàn)锳D∥BC，AB∥DC  ------------------------------------------------- 2分

所以四邊形ABCD為平行四邊形．---------------------------------------------------------------- 3分

分別過點(diǎn)B、D作BF⊥AD，DE⊥AB，垂足分別為點(diǎn)E、F．

則BE = CF．-------------------------------------------------------------------------------------------- 4分

因?yàn)椤螪AB =∠BAF，所以Rt△DAB≌Rt△BAF．--------------------------------------------- 5分

所以AD = AB．            

所以四邊形ABCD為菱形．-------------------------------------------------------------------------- 6分

（2）存在最小值和最大值．-------------------------------------------------------------------------- 7分

① 當(dāng)∠DAB = 90°時(shí)，菱形ABCD為正方形，周長(zhǎng)最小值為8；---------------------------8分

② 當(dāng)AC為矩形紙片的對(duì)角線時(shí)，設(shè)AB = x，如圖答3，在Rt△BCG中，

，．所以周長(zhǎng)最大值為17．-------------------------------------------9分

          

 

 

                                                                                                 

 

 

 

 

 

 

 

 

  2．證明：  ∵EF垂直平分AC，∴EF⊥AC，且AO＝CO-------------------------------1′       

              證得：△AOE≌△COF-----------------------------------------------------------3′

          證得：四邊形AECF是平行四邊形------------------------------------------------5′

　　　    由AC⊥EF可知：四邊形AECF是菱形 -------------------------------------------6′

 

 

5．（本題滿分8分）

解：（1）方法一：如圖①

∵在□ ABCD中，AD∥BC

∴∠DAB＋∠ABC＝180°                  ………………………1分

∵AE、BF分別平分∠DAB和∠ABC

∴∠DAB＝2∠BAE，∠ABC＝2∠ABF              ………………………2分

∴2∠BAE＋2∠ABF＝180°

即∠BAE＋∠ABF＝90°                 ………………………3分

∴∠AMB＝90°

∴AE⊥BF．                                     …………………………4分


   

    
    

    
圖②
 
 
 
 
 
 
方法二：如圖②,延長(zhǎng)BC、AE相交于點(diǎn)P      
∵在□ABCD中，AD∥BC
∴∠DAP＝∠APB                                             
 …………………………1分
∵AE平分∠DAB
∴∠DAP＝∠PAB          
                                    …………………………2分
∴∠APB＝∠PAB
∴AB＝BP                                                             
     ………………………3分
∵BF平分∠ABP
∴:AP⊥BF
即AE⊥BF．                            
                               ………………………4分
(2)方法一：線段DF與CE是相等關(guān)系，即DF＝CE      ………………5分
∵在□ABCD中，CD∥AB
∴∠DEA＝∠EAB
又∵AE平分∠DAB
∴∠DAE＝∠EAB
∴∠DEA＝∠DAE
∴DE＝AD                                         ………………………6分
同理可得，CF＝BC                               ………………………7分
又∵在□ABCD中，AD＝BC
∴DE＝CF
∴DE－EF＝CF－EF
即DF＝CE．                                        
………………………8分
方法二：如右圖,延長(zhǎng)BC、AE設(shè)交于點(diǎn)P，延長(zhǎng)AD、BF相交于點(diǎn)O       …5分
∵在□ABCD中，AD∥BC
∴∠DAP＝∠APB                                              
    
∵AE平分∠DAB
∴∠DAP＝∠PAB                                             
    
∴∠APB＝∠PAB
∴BP＝AB 
同理可得，AO＝AB                 

   
∴AO＝BP                                   ………………………6分
        ∵在□ABCD中，AD＝BC
        ∴OD＝PC
 又∵在□ABCD中，DC∥AB
       ∴△ODF∽△OAB，△PCE∽△PBA                  ………………………7分
       ∴＝，＝
      
∴DF＝CE．                                        
                            ………………………8分
 
6.�。�1）（2）略　　　（3）設(shè)BC=x，則DC＝x  ,BD＝，CF＝（－1）x
GD2=GE?GB=4－2     
DC2+CF2=(2GD)2 　　即　x2+（－1）2x2＝4（4－2）
（4－2）x2＝4（4－2）  　　x2＝4　　　正方形ABCD的面積是4個(gè)平方單位
 
 
7．（本小題滿分5分）
證明：∵  AB∥CD
∴                …………1分
∵  
∴  △ABO≌△CDO                
…………3分
∴                      …………4分
∴  四邊形ABCD是平行四邊形       …………5分
 
 
 
 
 
11．證明：（1）①在和中，
，，，????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分
．????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 3分
②，
．?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分
，
 
12．（本題7分）
解：（1）在梯形中，，
，，
，
．
，
，
．
．?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分
．???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 3分
，，
．?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分
與的函數(shù)表達(dá)式是
；??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 5分
（2）
．?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 6分
當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為．??????????????????????????????????????????????????????????????????? 7分
 
 
 
13．證明：菱形中，．???????????????????? 1分
分別是的中點(diǎn)，
．?????????????????? 3分
又，．????????????????? 5分
．??????????????????????????????? 7分
14.

15．證明：四邊形是平行四邊形，，．
．??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 1分
平分，．????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分
．??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 3分
．??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分
又，．???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 5分
 
16．解：（1）①40．?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分
②0． ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分
（2）不合理．例如，對(duì)兩個(gè)相似而不全等的矩形來說，它們接近正方形的程度是相同的，但卻不相等．合理定義方法不唯一，如定義為．越小，矩形越接近于正方形；越大，矩形與正方形的形狀差異越大；當(dāng)時(shí)，矩形就變成了正方形．???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 6分
17．解：（1）正方形中，，．
又，因此，即菱形的邊長(zhǎng)為．
在和中，，
，，
．．
，，
，即菱形是正方形．
同理可以證明．
因此，即點(diǎn)在邊上，同時(shí)可得，
從而．????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分
（2）作，為垂足，連結(jié)，
，，
，．
．
在和中，，，
．
，即無論菱形如何變化，點(diǎn)到直線的距離始終為定值2．
因此．??????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 6分
（3）若，由，得，此時(shí)，在中，．
相應(yīng)地，在中，，即點(diǎn)已經(jīng)不在邊上．
故不可能有．???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 9分
另法：由于點(diǎn)在邊上，因此菱形的邊長(zhǎng)至少為，
當(dāng)菱形的邊長(zhǎng)為4時(shí)，點(diǎn)在邊上且滿足，此時(shí)，當(dāng)點(diǎn)逐漸向右運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)時(shí)，的長(zhǎng)（即菱形的邊長(zhǎng)）將逐漸變大，最大值為．
此時(shí)，，故．
而函數(shù)的值隨著的增大而減小，
因此，當(dāng)時(shí)，取得最小值為．
又因?yàn)?sub>，所以，的面積不可能等于1．????????????????????? 9分
18.
19．證明：在等腰中，，．
　　　　　，，．又，
　　　　　．????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 3分
　　　　　．．
　　　　　．．．?????????????????? 5分
　　　　　又不平行，四邊形是梯形．??????????????????????????????????? 7分
　　　　　四邊形是等腰梯形．（理由：同一底上的兩底角相等的梯形是等腰梯形，或兩腰相等的梯形是等腰梯形）?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 8分
 
20．解：（1）在矩形中，，，
．……………………1分
　　　　，．
　　　　，即，
		




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