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題目列表(包括答案和解析)

（本小題滿分6分，請在下列兩個小題中，任選其一完成即可）
（1）解方程：x2+3x-2=0；
（2）如圖，在邊長為1個單位長度的正方形方格紙中建立直角坐標(biāo)系，△ABC各頂點的坐標(biāo)為：A（-5，4）、B（-1，1）、C（-5，1）．
①將△ABC繞著原點O順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△A′B′C′，請在圖中畫出△A′B′C′；
②寫出A′點的坐標(biāo)．

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加試題（本小題滿分20分，其中（1）、（2）、（3）題各3分，（4）題11分）
（1）一個正數(shù)的平方根為3-a和2a+3，則這個正數(shù)是
81
81

（2）若x2+2x+y2-6y+10=0，則xy=
-1
-1

（3）已知a，b分別是6-
13
的整數(shù)部分和小數(shù)部分，則2a-b=
13
13

（4）閱讀下面的問題，并解答問題：
1）如圖1，等邊△ABC內(nèi)有一點P，若點P到頂點A，B，C的距離分別為3，4，5，求∠APB的度數(shù)是多少？（請在下列橫線上填上合適的答案）
分析：由于PA，PB，PC不在同一個三角形中，為了解決本題我們可以將△ABP繞頂點A逆時針旋轉(zhuǎn)到△ACP′處，此時可以利用旋轉(zhuǎn)的特征等知識得到：
  ①∠APB=∠AP′C=∠AP′P+∠PP′C；
  ②AP=AP′，且∠PAP′=
60
60
度，所以△APP′為
等邊
等邊
三角形，則∠AP′P=
60
60
度；
  ③P′C=BP=4，P′P=AP=3，PC=5，所以△PP′C為
直角
直角
三角形，則∠PP′C=
90
90
度，從而得到∠APB=
150
150
度．
 2）請你利用第1）題的解答方法，完成下面問題：
如圖2，在△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC，E、F為邊BC上的點，且∠EAF=45°，試說明：EF2=BE2+FC2．

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（本小題滿分14分）如圖，在等腰梯形ABCD中，AB=DC=5，AD=4，BC=10.點

E在下底邊BC上，點F在腰AB上.

（1）若EF平分等腰梯形ABCD的周長，設(shè)BE長為x，試用含x的代數(shù)式表示△BEF的面積；

（2）是否存在線段EF將等腰梯形ABCD的周長和面積同時平分？若存在，求出此時BE的長；若不存在，請說明理由；

（3）是否存在線段EF將等腰梯形ABCD的周長和面積同時分成1∶2的兩部分？若存在，求出此時BE的長；若不存在，請說明理由.

 

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(本小題滿分12分)

   如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的A、B兩個頂點在x軸上，頂點C在y軸的負(fù)半軸上．已知，，△ABC的面積，拋物線

經(jīng)過A、B、C三點。

   1.(1)求此拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

   2.(2)設(shè)E是y軸右側(cè)拋物線上異于點B的一個動點，過點E作x軸的平行線交拋物線于另一點F，過點F作FG垂直于x軸于點G，再過點E作EH垂直于x軸于點H，得到矩形EFGH．則在點E的運動過程中，當(dāng)矩形EFGH為正方形時，求出該正方形的邊長；

   3.(3)在拋物線上是否存在異于B、C的點M，使△MBC中BC邊上的高為？若存在，求出點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

 

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(本小題滿分10分)在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，將△ABC繞頂點C順時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為(0°＜＜180°)，得到△A1B1C．

(1)如圖1，當(dāng)AB∥CB1時，設(shè)A1B1與BC相交于點D．證明：△A1CD是等邊三角形；

(2)如圖2，連接AA1、BB1，設(shè)△ACA1和△BCB1的面積分別為S1、S2．

求證：S1∶S2＝1∶3；

(3)如圖3，設(shè)AC的中點為E，A1B1的中點為P，AC＝a，連接EP．當(dāng)等于多少度時，EP的長度最大，最大值是多少？

 

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一、填空題：

1．60°．

2．答案不惟一，如：AE=CF，∠AEB=∠CFD,∠ ABE=∠CDF；

3．1；

4.4。

5.60

7．2－2     

8.15。

9.5

10.4

11.5

12. 2,3,n。

14．

 

15. (-8,0)。

 

16.6。

17. .平行四邊形。

18.60

19．4，12           

二、選擇題：

1．C

 

2．C

3.B

4.B

 

5.B

6.A

 

7.C。

 

8.B。

 

9.C

 

10.D

 

 

11.C。

 

12.B

13.B　

14.C　

15.D

16. C

17．C   

18．D    

19.D

20.C

21.D

22.D。

三、解答題：

1．（1）如圖答2，因為AD∥BC，AB∥DC  ------------------------------------------------- 2分

所以四邊形ABCD為平行四邊形．---------------------------------------------------------------- 3分

分別過點B、D作BF⊥AD，DE⊥AB，垂足分別為點E、F．

則BE = CF．-------------------------------------------------------------------------------------------- 4分

因為∠DAB =∠BAF，所以Rt△DAB≌Rt△BAF．--------------------------------------------- 5分

所以AD = AB．            

所以四邊形ABCD為菱形．-------------------------------------------------------------------------- 6分

（2）存在最小值和最大值．-------------------------------------------------------------------------- 7分

① 當(dāng)∠DAB = 90°時，菱形ABCD為正方形，周長最小值為8；---------------------------8分

② 當(dāng)AC為矩形紙片的對角線時，設(shè)AB = x，如圖答3，在Rt△BCG中，

，．所以周長最大值為17．-------------------------------------------9分

          

 

 

                                                                                                 

 

 

 

 

 

 

 

 

  2．證明：  ∵EF垂直平分AC，∴EF⊥AC，且AO＝CO-------------------------------1′       

              證得：△AOE≌△COF-----------------------------------------------------------3′

          證得：四邊形AECF是平行四邊形------------------------------------------------5′

　　　    由AC⊥EF可知：四邊形AECF是菱形 -------------------------------------------6′

 

 

5．（本題滿分8分）

解：（1）方法一：如圖①

∵在□ ABCD中，AD∥BC

∴∠DAB＋∠ABC＝180°                  ………………………1分

∵AE、BF分別平分∠DAB和∠ABC

∴∠DAB＝2∠BAE，∠ABC＝2∠ABF              ………………………2分

∴2∠BAE＋2∠ABF＝180°

即∠BAE＋∠ABF＝90°                 ………………………3分

∴∠AMB＝90°

∴AE⊥BF．                                     …………………………4分

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          1. 
 
            
  
  
  
  
 
            
 
            
  
  
 
            
 
            
  
  
  
  
            3. 
   
            
    
    
            
    
            圖②
             
             
             
             
             
             
            方法二：如圖②,延長BC、AE相交于點P      
            ∵在□ABCD中，AD∥BC
            ∴∠DAP＝∠APB                                             
 …………………………1分
            ∵AE平分∠DAB
            ∴∠DAP＝∠PAB          
                                    …………………………2分
            ∴∠APB＝∠PAB
            ∴AB＝BP                                                             
     ………………………3分
            ∵BF平分∠ABP
            ∴:AP⊥BF
            即AE⊥BF．                            
                               ………………………4分
            (2)方法一：線段DF與CE是相等關(guān)系，即DF＝CE      ………………5分
            ∵在□ABCD中，CD∥AB
            ∴∠DEA＝∠EAB
            又∵AE平分∠DAB
            ∴∠DAE＝∠EAB
            ∴∠DEA＝∠DAE
            ∴DE＝AD                                         ………………………6分
            同理可得，CF＝BC                               ………………………7分
            又∵在□ABCD中，AD＝BC
            ∴DE＝CF
            ∴DE－EF＝CF－EF
            即DF＝CE．                                        
………………………8分
            方法二：如右圖,延長BC、AE設(shè)交于點P，延長AD、BF相交于點O       …5分
            ∵在□ABCD中，AD∥BC
            ∴∠DAP＝∠APB                                              
    
            ∵AE平分∠DAB
            ∴∠DAP＝∠PAB                                             
    
            ∴∠APB＝∠PAB
            ∴BP＝AB 
            同理可得，AO＝AB                 

               
∴AO＝BP                                   ………………………6分
                    ∵在□ABCD中，AD＝BC
                    ∴OD＝PC
             又∵在□ABCD中，DC∥AB
                   ∴△ODF∽△OAB，△PCE∽△PBA                  ………………………7分
                   ∴＝，＝
                  
∴DF＝CE．                                        
                            ………………………8分
             
            6.　（1）（2）略　　�。�3）設(shè)BC=x，則DC＝x  ,BD＝，CF＝（－1）x
            GD2=GE?GB=4－2     
DC2+CF2=(2GD)2 　　即　x2+（－1）2x2＝4（4－2）
            （4－2）x2＝4（4－2）  　　x2＝4　　　正方形ABCD的面積是4個平方單位
             
             
            7．（本小題滿分5分）
            證明：∵  AB∥CD
            ∴                …………1分
            ∵  
            ∴  △ABO≌△CDO                
…………3分
            ∴                      …………4分
            ∴  四邊形ABCD是平行四邊形       …………5分
             
             
             
             
             
            11．證明：（1）①在和中，
            ，，，????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分
            ．????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 3分
            ②，
            ．?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分
            ，
             
            12．（本題7分）
            解：（1）在梯形中，，
            ，，
            ，
            ．
            ，
            ，
            ．
            ．?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分
            ．???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 3分
            ，，
            ．?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分
            與的函數(shù)表達(dá)式是
            ；??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 5分
            （2）
            ．?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 6分
            當(dāng)時，有最大值，最大值為．??????????????????????????????????????????????????????????????????? 7分
             
             
             
            13．證明：菱形中，．???????????????????? 1分
            分別是的中點，
            ．?????????????????? 3分
            又，．????????????????? 5分
            ．??????????????????????????????? 7分
            14.

            15．證明：四邊形是平行四邊形，，．
            ．??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 1分
            平分，．????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分
            ．??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 3分
            ．??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分
            又，．???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 5分
             
            16．解：（1）①40．?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分
            ②0． ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分
            （2）不合理．例如，對兩個相似而不全等的矩形來說，它們接近正方形的程度是相同的，但卻不相等．合理定義方法不唯一，如定義為．越小，矩形越接近于正方形；越大，矩形與正方形的形狀差異越大；當(dāng)時，矩形就變成了正方形．???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 6分
            17．解：（1）正方形中，，．
            又，因此，即菱形的邊長為．
            在和中，，
            ，，
            ．．
            ，，
            ，即菱形是正方形．
            同理可以證明．
            因此，即點在邊上，同時可得，
            從而．????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分
            （2）作，為垂足，連結(jié)，
            ，，
            ，．
            ．
            在和中，，，
            ．
            ，即無論菱形如何變化，點到直線的距離始終為定值2．
            因此．??????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 6分
            （3）若，由，得，此時，在中，．
            相應(yīng)地，在中，，即點已經(jīng)不在邊上．
            故不可能有．???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 9分
            另法：由于點在邊上，因此菱形的邊長至少為，
            當(dāng)菱形的邊長為4時，點在邊上且滿足，此時，當(dāng)點逐漸向右運動至點時，的長（即菱形的邊長）將逐漸變大，最大值為．
            此時，，故．
            而函數(shù)的值隨著的增大而減小，
            因此，當(dāng)時，取得最小值為．
            又因為，所以，的面積不可能等于1．????????????????????? 9分
            18.
            19．證明：在等腰中，，．
            　　　　　，，．又，
            　　　　　．????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 3分
            　　　　　．．
            　　　　　．．．?????????????????? 5分
            　　　　　又不平行，四邊形是梯形．??????????????????????????????????? 7分
            　　　　　四邊形是等腰梯形．（理由：同一底上的兩底角相等的梯形是等腰梯形，或兩腰相等的梯形是等腰梯形）?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 8分
             
            20．解：（1）在矩形中，，，
            ．……………………1分
            　　　　，．
            　　　　，即，
		
            

            

            同步練習(xí)冊答案
            


            


            






















			
            

            
	







          3.