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題目列表(包括答案和解析)

某工廠有工人1000名，其中250名工人參加過短期培訓(xùn)（稱為A類工人）另外750名工人參加過長(zhǎng)期培訓(xùn)（稱為B類工人）．現(xiàn)用分層抽樣的方法（按A類、B類分兩層）從該工廠的工人中抽取100名工人，調(diào)查他們的生產(chǎn)能力（此處生產(chǎn)能力指一天加工的零件數(shù)）．從A類工人中的抽查結(jié)果和從B類工人中的抽查結(jié)果如下表1和表2．
表1
生產(chǎn)能力分組 [110，120） [120，130） [130，140） [140，150）
人數(shù) 8 x 3 2
表2
生產(chǎn)能力分組 [110，120） [120，130） [130，140） [140，150）
人數(shù) 6 y 27 18
（Ⅰ）先確定x、y的值，再補(bǔ)齊下列頻率分布直方圖．

（Ⅱ）完成下面2×2列聯(lián)表，并回答能否有99.9%的把握認(rèn)為“工人的生產(chǎn)能力與工人的類別有關(guān)”？
生產(chǎn)能力分組 [110，130） [130，150） 合計(jì)
A類工人
B類工人
合計(jì)
附：K2=
n(ad-bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P（K2≥k） 0，05 0.025 0.01 0.005
k 3.841 5.024 6.635 7.879

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如圖，在正方體ABCD-A′B′C′D′中，直線A′B和直線AC、CC′、C′A所成的角的大小分別是α、β、γ，則α、β、γ的大小關(guān)系是（　�。�

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（2012•武昌區(qū)模擬）通過隨機(jī)詢問110名性別不同的行人，對(duì)過馬路是愿意走斑馬線還是愿意走人行天橋進(jìn)行抽樣調(diào)查，得到如下的列聯(lián)表：
男 女 總計(jì)
走天橋 40 20 60
走斑馬線 20 30 50
總計(jì) 60 50 110
由K2=
n(ad-bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
，算得K2=
110×(40×30-20×20)2
60×50×60×50
≈7.8
參照獨(dú)立性檢驗(yàn)附表，得到的正確結(jié)論是（　�。�

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設(shè)向量
a
=（1，cos2θ），
b
=（2，1），
c
=（4sinθ，1），
d
=（
1
2
sinθ，1）．
（1）若θ∈（0，
π
4
），求
a
•
b
-
c
•
d
的取值范圍；
（2）若θ∈[0，π），函數(shù)f（x）=|x-1|，比較f（
a
•
b
）與f（
c
•
d
）的大�。�

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“中國(guó)式過馬路”存在很大的交通安全隱患．某調(diào)查機(jī)構(gòu)為了解路人對(duì)“中國(guó)式過馬路”的態(tài)度是否與性別有關(guān)，從馬路旁隨機(jī)抽取30名路人進(jìn)行了問卷調(diào)查，得到了如下列聯(lián)表：
男性 女性 合計(jì)
反感 10
不反感 8
合計(jì) 30
已知在這30人中隨機(jī)抽取1人抽到反感“中國(guó)式過馬路”的路人的概率是
8
15
．
（Ⅰ）請(qǐng)將上面的列表補(bǔ)充完整（在答題卡上直接填寫結(jié)果，不需要寫求解過程），并據(jù)此資料分析反感“中國(guó)式過馬路”與性別是否有關(guān)？（x2=
(a+b+c+d)(ad-bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
，當(dāng)Χ2＜2.706時(shí)，沒有充分的證據(jù)判定變量性別有關(guān)，當(dāng)Χ2＞2.706時(shí)，有90%的把握判定變量性別有關(guān)，當(dāng)Χ2＞3.841時(shí)，有95%的把握判定變量性別有關(guān)，當(dāng)Χ2＞6.635時(shí)，有99%的把握判定變量性別有關(guān)）
（Ⅱ）若從這30人中的女性路人中隨機(jī)抽取2人參加一活動(dòng)，記反感“中國(guó)式過馬路”的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

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一、選擇題

   D  A  A  C  D    C  D  C  B  B

二、填空題:

11.     12．     13．81     14．   15.②③

三、解答題: 

16.解：把函數(shù)按向量平移后得..............2分

（Ⅰ）=..................3分

............5分

則函數(shù)的值域?yàn)?sub>；.....................7分

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，，

  .............................................9分

 恒有解，，..................................11分

即....................................................12分

 

17.解：（Ⅰ）設(shè)三角形三內(nèi)角A、B、C對(duì)應(yīng)的三邊分別為a, b, c，

∵，∴，由正弦定理有,

又由余弦定理有，∴，即，

所以為Rt，且 .................................. 3分

又

（1）÷（2），得...................................... 4分

令a=4k, b=3k (k>0)

則∴三邊長(zhǎng)分別為3，4，5.....................6分

（Ⅱ）以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線CA為x軸正半軸建立直角坐標(biāo)系，則A、B坐標(biāo)為（3，0），（0，4），直線AB方程為

設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x, y），則由P到三邊AB、BC、AB的距離為d1, d2和d3可知

，..................................8分

且故.......................10分

令，由線性規(guī)劃知識(shí)可知0≤m≤8，故d1+d2+d3的取值范圍是......12分

 

18.解：（Ⅰ）當(dāng)

                    ………………2分

，..............................................5分

故        ................6分

定義域?yàn)?sub>     .................................7分

   （Ⅱ）對(duì)于，            

顯然當(dāng)（元），    ..................................9分

∴當(dāng)每輛自行車的日租金定在11元時(shí)，才能使一日的凈收入最多。..........12分

 

19.解： (Ⅰ) ∵(1)＝0

∴(an＋2－an＋1)－(3a n＋1－4an)＝0

即an＋2－2an＋1＝2(an＋1－2an)    又a2－2a1＝4

∴數(shù)列｛an＋1－2an｝是以2為公比，以4為首項(xiàng)的等比數(shù)列。...............2分

∴an＋1－2an＝4×2n－1＝2 n＋1

∴    且

∴數(shù)列｛｝是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，....................4分

∴＝＋(n－1)×1＝n

∴.....................................................6分

    （Ⅱ）由，

        令Sn＝|b1|＋|b2|＋…＋|bn|＝＋2()2＋3()3＋…＋n()n

 　　　　　Sn＝()2＋2()3＋…＋(n－1)()n＋n()n＋1.......................8分

得Sn＝＋()2＋()3＋…＋()n－n()n+1

＝－n()n+1＝2[1－()n]－n()n+1

∴ Sn＝6[1－()n]－3n()n+1＜.....................10分

要使得|b1|＋|b2|＋…＋|bn|＜m對(duì)于n∈N＊恒成立,只須

   所以實(shí)數(shù)的取值范圍是。.......................................12分

 

20．解：（Ⅰ）因?yàn)?sub>

又是函數(shù)的極值點(diǎn)，，即..............2分

，則............4分

.........................................................6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知

故.................................8分

令，當(dāng)時(shí)，得，

則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，

所以在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，..................10分

故時(shí)，，又，..................................12分

即對(duì)任意，恒有。..................................13分

 

 

 

21.解：（Ⅰ） 以AB所在直線為x軸，線段AB的中垂線為y軸建立直角坐標(biāo)系，

設(shè) |CA|+|CB|=2a(a>3)為定值，所以C點(diǎn)的軌跡是以A、B為焦點(diǎn)的橢圓，

所以焦距 2c=|AB|=6. ...................................................2分

 因?yàn)?

又 ，所以 ，

由題意得 ...........................................4分

此時(shí)，|PA|=|PB|，P點(diǎn)坐標(biāo)為 P(0，±4).

所以C點(diǎn)的軌跡方程為   .............................6分

（Ⅱ）不妨設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為A(-3，0)，M(x1,y1),N(x2,y2)

(1)當(dāng)直線MN的傾斜角不為900時(shí)，設(shè)其方程為 y=k(x+3) 代入橢圓方程化簡(jiǎn)，得 .......................................7分

顯然有 △≥0， 所以

而由橢圓第二定義可得

                                            ......................... 10分

只要考慮 的最小值，即考慮取最小值，顯然.

當(dāng)k=0時(shí)，取最小值16. .................................12分

(2)當(dāng)直線MN的傾斜角為900時(shí)，x1=x2=-3,得 .....12分

但 ，故，這樣的M、N不存在，即的最小值的集合為空集............................................................14分

 


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