A.三角形的兩邊中點(diǎn)連線得到的中位線平行并且等于第三邊的一半，類(lèi)似地，三棱錐的中截面的面積等于底面面積的一半

B.三角形兩邊中點(diǎn)連線得到的中位線平行且等于第三邊的一半，類(lèi)似地，三棱錐的中截面的面積等于底面面積的

C.三角形被平行于一邊的直線所截得的三角形與原三角形相似，面積比等于相似比的平方，類(lèi)似地棱錐被平行于底面的平面所截得的多邊形與底面相似，面積比等于相似比的平方

D.梯形的中位線等于兩底和的一半，類(lèi)似地，圓臺(tái)的中截面半徑等于上、下兩底半徑和的一半

命題①12是4和3的公倍數(shù)；命題②相似三角形的對(duì)應(yīng)邊不一定相等；命題③三角形中位線平行且等于底邊長(zhǎng)的一半；命題④等腰三角形的底角相等．上述4個(gè)命題中，是簡(jiǎn)單命題的只有（                   ）．

Ａ．①，②，④              Ｂ．①，④              Ｃ．②，④              Ｄ．④

A.三角形的兩邊中點(diǎn)連線得到的中位線平行并且等于第三邊的一半，類(lèi)似地，三棱錐的中截面的面積等于底面面積的一半

B.三角形兩邊中點(diǎn)連線得到的中位線平行且等于第三邊的一半，類(lèi)似地，三棱錐的中截面的面積等于底面面積的

C.三角形被平行于一邊的直線所截得的三角形與原三角形相似，面積比等于相似比的平方，類(lèi)似地棱錐被平行于底面的平面所截得的多邊形與底面相似，面積比等于相似比的平方

D.梯形的中位線等于兩底和的一半，類(lèi)似地，圓臺(tái)的中截面半徑等于上、下兩底半徑和的一半

命題
①12是4和3的公倍數(shù)；                      ②相似三角形的對(duì)應(yīng)邊不一定相等；
③三角形中位線平行且等于底邊長(zhǎng)的一半；     ④等腰三角形的底角相等．

上述4個(gè)命題中，是簡(jiǎn)單命題的是．

1. A.
   ①②④
2. B.
   ①④
3. C.
   ②④
4. D.
   ④

已知函數(shù)的圖象過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O,且在點(diǎn)處的切線的斜率是.

（Ⅰ）求實(shí)數(shù)的值； 

（Ⅱ）求在區(qū)間上的最大值；

（Ⅲ）對(duì)任意給定的正實(shí)數(shù)，曲線上是否存在兩點(diǎn)P、Q，使得是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且此三角形斜邊中點(diǎn)在軸上？說(shuō)明理由.

【解析】第一問(wèn)當(dāng)時(shí)，，則。

依題意得：，即    解得

第二問(wèn)當(dāng)時(shí)，，令得，結(jié)合導(dǎo)數(shù)和函數(shù)之間的關(guān)系得到單調(diào)性的判定，得到極值和最值

第三問(wèn)假設(shè)曲線上存在兩點(diǎn)P、Q滿(mǎn)足題設(shè)要求，則點(diǎn)P、Q只能在軸兩側(cè)。

不妨設(shè)，則，顯然

∵是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，∴

即    （*）若方程（*）有解，存在滿(mǎn)足題設(shè)要求的兩點(diǎn)P、Q；

若方程（*）無(wú)解，不存在滿(mǎn)足題設(shè)要求的兩點(diǎn)P、Q.

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，則。

依題意得：，即    解得

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

①當(dāng)時(shí)，，令得

當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下表：

又，，�！�在上的最大值為2.

②當(dāng)時(shí), .當(dāng)時(shí), ,最大值為0；

當(dāng)時(shí), 在上單調(diào)遞增�！�在最大值為。

綜上，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，在區(qū)間上的最大值為2；

當(dāng)時(shí)，即時(shí)，在區(qū)間上的最大值為。

（Ⅲ）假設(shè)曲線上存在兩點(diǎn)P、Q滿(mǎn)足題設(shè)要求，則點(diǎn)P、Q只能在軸兩側(cè)。

不妨設(shè)，則，顯然

∵是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，∴

即    （*）若方程（*）有解，存在滿(mǎn)足題設(shè)要求的兩點(diǎn)P、Q；

若方程（*）無(wú)解，不存在滿(mǎn)足題設(shè)要求的兩點(diǎn)P、Q.

若，則代入（*）式得：

即，而此方程無(wú)解，因此。此時(shí)，

代入（*）式得：    即   （**）

令 ，則

∴在上單調(diào)遞增，  ∵     ∴,∴的取值范圍是。

∴對(duì)于，方程（**）總有解，即方程（*）總有解。

因此，對(duì)任意給定的正實(shí)數(shù)，曲線上存在兩點(diǎn)P、Q，使得是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且此三角形斜邊中點(diǎn)在軸上