題目列表(包括答案和解析)
(10分)設(shè)函數(shù),其中向量=(sinx,-cosx),=(sinx,-3cosx),=(-cosx,sinx),x∈R.
(1) 求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間。
(2)函數(shù)的圖象可由函數(shù)的圖象經(jīng)過怎樣變化得出?
(3)若不等式在上恒成立,求實數(shù)的取值范圍。
(10分)設(shè)函數(shù),其中向量=(sinx,-cosx),=(sinx,-3cosx),=(-cosx,sinx),x∈R.
(1) 求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間。
(2)函數(shù)的圖象可由函數(shù)的圖象經(jīng)過怎樣變化得出?
(3)若不等式在上恒成立,求實數(shù)的取值范圍。
已知函數(shù) R).
(Ⅰ)若 ,求曲線 在點 處的的切線方程;
(Ⅱ)若 對任意 恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.
【解析】本試題主要考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運用。
第一問中,利用當(dāng)時,.
因為切點為(), 則,
所以在點()處的曲線的切線方程為:
第二問中,由題意得,即即可。
Ⅰ)當(dāng)時,.
,
因為切點為(), 則,
所以在點()處的曲線的切線方程為:. ……5分
(Ⅱ)解法一:由題意得,即. ……9分
(注:凡代入特殊值縮小范圍的均給4分)
,
因為,所以恒成立,
故在上單調(diào)遞增, ……12分
要使恒成立,則,解得.……15分
解法二: ……7分
(1)當(dāng)時,在上恒成立,
故在上單調(diào)遞增,
即. ……10分
(2)當(dāng)時,令,對稱軸,
則在上單調(diào)遞增,又
① 當(dāng),即時,在上恒成立,
所以在單調(diào)遞增,
即,不合題意,舍去
②當(dāng)時,, 不合題意,舍去 14分
綜上所述:
已知函數(shù)在取得極值
(1)求的單調(diào)區(qū)間(用表示);
(2)設(shè),,若存在,使得成立,求的取值范圍.
【解析】第一問利用
根據(jù)題意在取得極值,
對參數(shù)a分情況討論,可知
當(dāng)即時遞增區(qū)間: 遞減區(qū)間: ,
當(dāng)即時遞增區(qū)間: 遞減區(qū)間: ,
第二問中, 由(1)知: 在,
,
在
從而求解。
解:
…..3分
在取得極值, ……………………..4分
(1) 當(dāng)即時 遞增區(qū)間: 遞減區(qū)間: ,
當(dāng)即時遞增區(qū)間: 遞減區(qū)間: , ………….6分
(2) 由(1)知: 在,
,
在
……………….10分
, 使成立
得:
在棱長為的正方體中,是線段的中點,.
(1) 求證:^;
(2) 求證://平面;
(3) 求三棱錐的表面積.
【解析】本試題考查了線線垂直和線面平行的判定定理和表面積公式的運用。第一問中,利用,得到結(jié)論,第二問中,先判定為平行四邊形,然后,可知結(jié)論成立。
第三問中,是邊長為的正三角形,其面積為,
因為平面,所以,
所以是直角三角形,其面積為,
同理的面積為, 面積為. 所以三棱錐的表面積為.
解: (1)證明:根據(jù)正方體的性質(zhì),
因為,
所以,又,所以,,
所以^. ………………4分
(2)證明:連接,因為,
所以為平行四邊形,因此,
由于是線段的中點,所以, …………6分
因為面,平面,所以∥平面. ……………8分
(3)是邊長為的正三角形,其面積為,
因為平面,所以,
所以是直角三角形,其面積為,
同理的面積為, ……………………10分
面積為. 所以三棱錐的表面積為
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