題目列表(包括答案和解析)
如圖,在四棱錐中,⊥底面,底面為正方形,,,分別是,的中點.
(I)求證:平面;
(II)求證:;
(III)設(shè)PD=AD=a, 求三棱錐B-EFC的體積.
【解析】第一問利用線面平行的判定定理,,得到
第二問中,利用,所以
又因為,,從而得
第三問中,借助于等體積法來求解三棱錐B-EFC的體積.
(Ⅰ)證明: 分別是的中點,
,. …4分
(Ⅱ)證明:四邊形為正方形,.
, .
, ,
.,. ………8分
(Ⅲ)解:連接AC,DB相交于O,連接OF, 則OF⊥面ABCD,
∴
在邊長為的正方形ABCD中,E、F分別為BC、CD的中點,M、N分別為AB、CF的中點,現(xiàn)沿AE、AF、EF折疊,使B、C、D三點重合,構(gòu)成一個三棱錐.
(I)判別MN與平面AEF的位置關(guān)系,并給出證明;
(II)求多面體E-AFMN的體積.
【解析】第一問因翻折后B、C、D重合(如下圖),所以MN應(yīng)是的一條中位線,則利用線線平行得到線面平行。
第二問因為平面BEF,……………8分
且,
∴,又 ∴
(1)因翻折后B、C、D重合(如圖),
所以MN應(yīng)是的一條中位線,………………3分
則.………6分
(2)因為平面BEF,……………8分
且,
∴,………………………………………10分
又 ∴
2.A解析:由知函數(shù)在上有零點,又因為函數(shù)在(0,+)上是減函數(shù),所以函數(shù)y=f(x) 在(0,+)上有且只有一個零點不妨設(shè)為,則,又因為函數(shù)是偶函數(shù),所以=0并且函數(shù)在(0,+)上是減函數(shù),因此-是(-,0)上的唯一零點,所以函數(shù)共有兩個零點
下列敘述中,是隨機變量的有( )
①某工廠加工的零件,實際尺寸與規(guī)定尺寸之差;②標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下,水沸騰的溫度;③某大橋一天經(jīng)過的車輛數(shù);④向平面上投擲一點,此點坐標(biāo).
A.②③ B.①② C.①③④ 。模佗
如圖所示的長方體中,底面是邊長為的正方形,為與的交點,,是線段的中點.
(Ⅰ)求證:平面;
(Ⅱ)求證:平面;
(Ⅲ)求二面角的大小.
【解析】本試題主要考查了線面平行的判定定理和線面垂直的判定定理,以及二面角的求解的運用。中利用,又平面,平面,∴平面由,,又,∴平面. 可得證明
(3)因為∴為面的法向量.∵,,
∴為平面的法向量.∴利用法向量的夾角公式,,
∴與的夾角為,即二面角的大小為.
方法一:解:(Ⅰ)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.連接,則點、,
∴,又點,,∴
∴,且與不共線,∴.
又平面,平面,∴平面.…………………4分
(Ⅱ)∵,
∴,,即,,
又,∴平面. ………8分
(Ⅲ)∵,,∴平面,
∴為面的法向量.∵,,
∴為平面的法向量.∴,
∴與的夾角為,即二面角的大小為
在四棱錐中,平面,底面為矩形,.
(Ⅰ)當(dāng)時,求證:;
(Ⅱ)若邊上有且只有一個點,使得,求此時二面角的余弦值.
【解析】第一位女利用線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理得到。當(dāng)a=1時,底面ABCD為正方形,
又因為,………………2分
又,得證。
第二問,建立空間直角坐標(biāo)系,則B(1,0,1)D(0,a,0)C(1,a,0)P(0,0,1)……4分
設(shè)BQ=m,則Q(1,m,0)(0《m《a》
要使,只要
所以,即………6分
由此可知時,存在點Q使得
當(dāng)且僅當(dāng)m=a-m,即m=a/2時,BC邊上有且只有一個點Q,使得
由此知道a=2, 設(shè)平面POQ的法向量為
,所以 平面PAD的法向量
則的大小與二面角A-PD-Q的大小相等所以
因此二面角A-PD-Q的余弦值為
解:(Ⅰ)當(dāng)時,底面ABCD為正方形,
又因為,又………………3分
(Ⅱ) 因為AB,AD,AP兩兩垂直,分別以它們所在直線為X軸、Y軸、Z軸建立坐標(biāo)系,如圖所示,
則B(1,0,1)D(0,a,0)C(1,a,0)P(0,0,1)…………4分
設(shè)BQ=m,則Q(1,m,0)(0《m《a》要使,只要
所以,即………6分
由此可知時,存在點Q使得
當(dāng)且僅當(dāng)m=a-m,即m=a/2時,BC邊上有且只有一個點Q,使得由此知道a=2,
設(shè)平面POQ的法向量為
,所以 平面PAD的法向量
則的大小與二面角A-PD-Q的大小相等所以
因此二面角A-PD-Q的余弦值為
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