動(dòng)圓P過定點(diǎn)F（1，0）且與直線x=-1相切，圓心P的軌跡為曲線C，過F作曲線C兩條互相垂直的弦AB，CD，設(shè)AB，CD的中點(diǎn)分別為M、N．
（1）求曲線C的方程；
（2）求證：直線MN必過定點(diǎn)．

2009.4

1-10．CDABB   CDBDA

11.       12. 4        13.        14.       15.  

16.   17.

18．解：（Ⅰ）由題意，有，

∴＝．…………………………5分

由，得．

∴函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為 ．……………… 7分

（Ⅱ）由，得．

∴．           ……………………………………………… 10分

∵，∴．      ……………………………………………… 14分

19．解：（Ⅰ）設(shè)數(shù)列的公比為，由， 得.             …………………………………………………………… 4分

∴數(shù)列的通項(xiàng)公式為.      ………………………………… 6分

（Ⅱ） ∵，    ，　　    ①

.　 　   ②         

①－②得： …………………12分

             得，                           …………………14分

20.解：（I）取中點(diǎn)，連接.

∵分別是梯形和的中位線

∴，又

∴面面，又面

∴面.……………………… 7分

（II）由三視圖知，是等腰直角三角形，

     連接

     在面AC₁上的射影就是，∴

     ，

∴當(dāng)在的中點(diǎn)時(shí)，與平面所成的角

  是.           ………………………………14分

21．解：（Ⅰ）由題意：.

為點(diǎn)M的軌跡方程.     ………………………………………… 4分

（Ⅱ）由題易知直線l₁，l₂的斜率都存在，且不為0，不妨設(shè)，MN方程為與 聯(lián)立得：，設(shè)

    ∴由拋物線定義知：|MN|=|MF|+|NF|…………7分

       同理RQ的方程為，求得.  ………………………… 9分

∴．  ……………………………… 13分

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，故四邊形MRNQ的面積的最小值為32．………… 15分

22. 解：（Ⅰ），由題意得，

所以                    ………………………………………………… 4分

（Ⅱ）證明：令，，

由得：，……………………………………………… 7分

(1)當(dāng)時(shí)，，在上，即在上單調(diào)遞增，此時(shí).

∴          …………………………………………………………… 10分

(2)當(dāng)時(shí)，，在上，在上，在 上，即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，或者，此時(shí)只要或者即可，得或，

∴.                        …………………………………………14分

由 (1) 、(2)得 .

∴綜上所述，對(duì)于都，使得成立. ………………15分