題目列表(包括答案和解析)
已知點(diǎn)為圓上的動點(diǎn),且不在軸上,軸,垂足為,線段中點(diǎn)的軌跡為曲線,過定點(diǎn)任作一條與軸不垂直的直線,它與曲線交于、兩點(diǎn)。
(I)求曲線的方程;
(II)試證明:在軸上存在定點(diǎn),使得總能被軸平分
【解析】第一問中設(shè)為曲線上的任意一點(diǎn),則點(diǎn)在圓上,
∴,曲線的方程為
第二問中,設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,直線的方程為, ………………3分
代入曲線的方程,可得
∵,∴
確定結(jié)論直線與曲線總有兩個(gè)公共點(diǎn).
然后設(shè)點(diǎn),的坐標(biāo)分別, ,則,
要使被軸平分,只要得到。
(1)設(shè)為曲線上的任意一點(diǎn),則點(diǎn)在圓上,
∴,曲線的方程為. ………………2分
(2)設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,直線的方程為, ………………3分
代入曲線的方程,可得 ,……5分
∵,∴,
∴直線與曲線總有兩個(gè)公共點(diǎn).(也可根據(jù)點(diǎn)M在橢圓的內(nèi)部得到此結(jié)論)
………………6分
設(shè)點(diǎn),的坐標(biāo)分別, ,則,
要使被軸平分,只要, ………………9分
即,, ………………10分
也就是,,
即,即只要 ………………12分
當(dāng)時(shí),(*)對任意的s都成立,從而總能被軸平分.
所以在x軸上存在定點(diǎn),使得總能被軸平分
已知,是橢圓左右焦點(diǎn),它的離心率,且被直線所截得的線段的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為
(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)設(shè)是其橢圓上的任意一點(diǎn),當(dāng)為鈍角時(shí),求的取值范圍。
【解析】解:因?yàn)榈谝粏栔,利用橢圓的性質(zhì)由得 所以橢圓方程可設(shè)為:,然后利用
得得
橢圓方程為
第二問中,當(dāng)為鈍角時(shí),, 得
所以 得
解:(Ⅰ)由得 所以橢圓方程可設(shè)為:
3分
得得
橢圓方程為 3分
(Ⅱ)當(dāng)為鈍角時(shí),, 得 3分
所以 得
如圖所示的長方體中,底面是邊長為的正方形,為與的交點(diǎn),,是線段的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:平面;
(Ⅱ)求證:平面;
(Ⅲ)求二面角的大。
【解析】本試題主要考查了線面平行的判定定理和線面垂直的判定定理,以及二面角的求解的運(yùn)用。中利用,又平面,平面,∴平面由,,又,∴平面. 可得證明
(3)因?yàn)椤?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012061921381634452104/SYS201206192139454539928006_ST.files/image021.png">為面的法向量.∵,,
∴為平面的法向量.∴利用法向量的夾角公式,,
∴與的夾角為,即二面角的大小為.
方法一:解:(Ⅰ)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.連接,則點(diǎn)、,
∴,又點(diǎn),,∴
∴,且與不共線,∴.
又平面,平面,∴平面.…………………4分
(Ⅱ)∵,
∴,,即,,
又,∴平面. ………8分
(Ⅲ)∵,,∴平面,
∴為面的法向量.∵,,
∴為平面的法向量.∴,
∴與的夾角為,即二面角的大小為
在平面直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為
點(diǎn)是曲線上的動點(diǎn).
(1)求線段的中點(diǎn)的軌跡的直角坐標(biāo)方程;
(2) 以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,若直線的極坐標(biāo)方程為,求點(diǎn)到直線距離的最大值.
【解析】第一問利用設(shè)曲線上動點(diǎn),由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得
所以點(diǎn)的軌跡的參數(shù)方程為
消參可得
第二問,由題可知直線的直角坐標(biāo)方程為,因?yàn)樵c(diǎn)到直線的距離為,
所以點(diǎn)到直線的最大距離為
已知過點(diǎn)的動直線與拋物線相交于兩點(diǎn).當(dāng)直線的斜率是時(shí),.
(1)求拋物線的方程;
(2)設(shè)線段的中垂線在軸上的截距為,求的取值范圍.
【解析】(1)B,C,當(dāng)直線的斜率是時(shí),
的方程為,即 (1’)
聯(lián)立 得, (3’)
由已知 , (4’)
由韋達(dá)定理可得G方程為 (5’)
(2)設(shè):,BC中點(diǎn)坐標(biāo)為 (6’)
得 由得 (8’)
BC中垂線為 (10’)
(11’)
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