題目列表(包括答案和解析)
如圖,三棱錐中,側(cè)面底面, ,且,.(Ⅰ)求證:平面;
(Ⅱ)若為側(cè)棱PB的中點(diǎn),求直線AE與底面所成角的正弦值.
【解析】第一問(wèn)中,利用由知, ,
又AP=PC=2,所以AC=2,
又AB=4, BC=2,,所以,所以,即,
又平面平面ABC,平面平面ABC=AC, 平面ABC,
平面ACP,所以第二問(wèn)中結(jié)合取AC中點(diǎn)O,連接PO、OB,并取OB中點(diǎn)H,連接AH、EH,因?yàn)镻A=PC,所以PO⊥AC,同(Ⅰ)易證平面ABC,又EH//PO,所以EH平面ABC ,
則為直線AE與底面ABC 所成角,
解
(Ⅰ) 證明:由用由知, ,
又AP=PC=2,所以AC=2,
又AB=4, BC=2,,所以,所以,即,
又平面平面ABC,平面平面ABC=AC, 平面ABC,
平面ACP,所以
………………………………………………6分
(Ⅱ)如圖, 取AC中點(diǎn)O,連接PO、OB,并取OB中點(diǎn)H,連接AH、EH,
因?yàn)镻A=PC,所以PO⊥AC,同(Ⅰ)易證平面ABC,
又EH//PO,所以EH平面ABC ,
則為直線AE與底面ABC 所成角,
且………………………………………10分
又PO=1/2AC=,也所以有EH=1/2PO=,
由(Ⅰ)已證平面PBC,所以,即,
故,
于是
所以直線AE與底面ABC 所成角的正弦值為
已知函數(shù)f(x)=ex-ax,其中a>0.
(1)若對(duì)一切x∈R,f(x) 1恒成立,求a的取值集合;
(2)在函數(shù)f(x)的圖像上去定點(diǎn)A(x1, f(x1)),B(x2, f(x2))(x1<x2),記直線AB的斜率為k,證明:存在x0∈(x1,x2),使恒成立.
【解析】解:令.
當(dāng)時(shí)單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí)單調(diào)遞增,故當(dāng)時(shí),取最小值
于是對(duì)一切恒成立,當(dāng)且僅當(dāng). ①
令則
當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減.
故當(dāng)時(shí),取最大值.因此,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),①式成立.
綜上所述,的取值集合為.
(Ⅱ)由題意知,令則
令,則.當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增.故當(dāng),即
從而,又
所以因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線,所以存在使即成立.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性、最值、不等式恒成立問(wèn)題等,考查運(yùn)算能力,考查分類討論思想、函數(shù)與方程思想等數(shù)學(xué)方法.第一問(wèn)利用導(dǎo)函數(shù)法求出取最小值對(duì)一切x∈R,f(x) 1恒成立轉(zhuǎn)化為從而得出求a的取值集合;第二問(wèn)在假設(shè)存在的情況下進(jìn)行推理,然后把問(wèn)題歸結(jié)為一個(gè)方程是否存在解的問(wèn)題,通過(guò)構(gòu)造函數(shù),研究這個(gè)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行分析判斷.
如圖,已知直線()與拋物線:和圓:都相切,是的焦點(diǎn).
(Ⅰ)求與的值;
(Ⅱ)設(shè)是上的一動(dòng)點(diǎn),以為切點(diǎn)作拋物線的切線,直線交軸于點(diǎn),以、為鄰邊作平行四邊形,證明:點(diǎn)在一條定直線上;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,記點(diǎn)所在的定直線為, 直線與軸交點(diǎn)為,連接交拋物線于、兩點(diǎn),求△的面積的取值范圍.
【解析】第一問(wèn)中利用圓: 的圓心為,半徑.由題設(shè)圓心到直線的距離.
即,解得(舍去)
設(shè)與拋物線的相切點(diǎn)為,又,得,.
代入直線方程得:,∴ 所以,
第二問(wèn)中,由(Ⅰ)知拋物線方程為,焦點(diǎn). ………………(2分)
設(shè),由(Ⅰ)知以為切點(diǎn)的切線的方程為.
令,得切線交軸的點(diǎn)坐標(biāo)為 所以,, ∵四邊形FAMB是以FA、FB為鄰邊作平行四邊形
∴ 因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070911460473385651/SYS201207091146532963151648_ST.files/image007.png">是定點(diǎn),所以點(diǎn)在定直線
第三問(wèn)中,設(shè)直線,代入得結(jié)合韋達(dá)定理得到。
解:(Ⅰ)由已知,圓: 的圓心為,半徑.由題設(shè)圓心到直線的距離.
即,解得(舍去). …………………(2分)
設(shè)與拋物線的相切點(diǎn)為,又,得,.
代入直線方程得:,∴ 所以,. ……(2分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知拋物線方程為,焦點(diǎn). ………………(2分)
設(shè),由(Ⅰ)知以為切點(diǎn)的切線的方程為.
令,得切線交軸的點(diǎn)坐標(biāo)為 所以,, ∵四邊形FAMB是以FA、FB為鄰邊作平行四邊形,
∴ 因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070911460473385651/SYS201207091146532963151648_ST.files/image007.png">是定點(diǎn),所以點(diǎn)在定直線上.…(2分)
(Ⅲ)設(shè)直線,代入得, ……)得, …………………………… (2分)
,
.△的面積范圍是
如圖,平面ABDE⊥平面ABC,ACBC,AC=BC=4,四邊形ABDE是直角梯形,BDAE,BDBA,AE=2BD=4,O、M分別為CE、AB的中點(diǎn).
(Ⅰ)證明:OD//平面ABC;
(Ⅱ)能否在EM上找一點(diǎn)N,使得ON⊥平面ABDE?若能,請(qǐng)指出點(diǎn)N的位置,并加以證明;若不能,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【解析】第一問(wèn):取AC中點(diǎn)F,連結(jié)OF、FB.∵F是AC的中點(diǎn),O為CE的中點(diǎn),
∴OF∥EA且OF=且BD=
∴OF∥DB,OF=DB,
∴四邊形BDOF是平行四邊形。
∴OD∥FB
第二問(wèn)中,當(dāng)N是EM中點(diǎn)時(shí),ON⊥平面ABDE。 ………7分
證明:取EM中點(diǎn)N,連結(jié)ON、CM, AC=BC,M為AB中點(diǎn),∴CM⊥AB,
又∵面ABDE⊥面ABC,面ABDE面ABC=AB,CM面ABC,
∴CM⊥面ABDE,∵N是EM中點(diǎn),O為CE中點(diǎn),∴ON∥CM,
∴ON⊥平面ABDE。
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