題目列表(包括答案和解析)
如圖是單位圓上的點,分別是圓與軸的兩交點,為正三角形.
(1)若點坐標為,求的值;
(2)若,四邊形的周長為,試將表示成的函數,并求出的最大值.
【解析】第一問利用設
∵ A點坐標為∴ ,
(2)中 由條件知 AB=1,CD=2 ,
在中,由余弦定理得
∴
∵ ∴ ,
∴ 當時,即 當 時 , y有最大值5. .
設函數f(x)=在[1,+∞上為增函數.
(1)求正實數a的取值范圍;
(2)比較的大小,說明理由;
(3)求證:(n∈N*, n≥2)
【解析】第一問中,利用
解:(1)由已知:,依題意得:≥0對x∈[1,+∞恒成立
∴ax-1≥0對x∈[1,+∞恒成立 ∴a-1≥0即:a≥1
(2)∵a=1 ∴由(1)知:f(x)=在[1,+∞)上為增函數,
∴n≥2時:f()=
(3) ∵ ∴
已知橢圓的離心率為,以原點為圓心,橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線相切.
(I)求橢圓的方程;
(II)若過點(2,0)的直線與橢圓相交于兩點,設為橢圓上一點,且滿足(O為坐標原點),當< 時,求實數的取值范圍.
【解析】本試題主要考查了橢圓的方程以及直線與橢圓的位置關系的運用。
第一問中,利用
第二問中,利用直線與橢圓聯系,可知得到一元二次方程中,可得k的范圍,然后利用向量的<不等式,表示得到t的范圍。
解:(1)由題意知
設函數,其中為自然對數的底數.
(1)求函數的單調區(qū)間;
(2)記曲線在點(其中)處的切線為,與軸、軸所圍成的三角形面積為,求的最大值.
【解析】第一問利用由已知,所以,
由,得, 所以,在區(qū)間上,,函數在區(qū)間上單調遞減; 在區(qū)間上,,函數在區(qū)間上單調遞增;
第二問中,因為,所以曲線在點處切線為:.
切線與軸的交點為,與軸的交點為,
因為,所以,
, 在區(qū)間上,函數單調遞增,在區(qū)間上,函數單調遞減.所以,當時,有最大值,此時,
解:(Ⅰ)由已知,所以, 由,得, 所以,在區(qū)間上,,函數在區(qū)間上單調遞減;
在區(qū)間上,,函數在區(qū)間上單調遞增;
即函數的單調遞減區(qū)間為,單調遞增區(qū)間為.
(Ⅱ)因為,所以曲線在點處切線為:.
切線與軸的交點為,與軸的交點為,
因為,所以,
, 在區(qū)間上,函數單調遞增,在區(qū)間上,函數單調遞減.所以,當時,有最大值,此時,
所以,的最大值為
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
| ||
3 |
| ||
2 |
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