題目列表(包括答案和解析)
(本小題滿分14分)
已知函數(shù)。
(1)證明:
(2)若數(shù)列的通項(xiàng)公式為,求數(shù)列 的前項(xiàng)和;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(3)設(shè)數(shù)列滿足:,設(shè),
若(2)中的滿足對(duì)任意不小于2的正整數(shù),恒成立,
試求的最大值。
(本小題滿分14分)已知,點(diǎn)在軸上,點(diǎn)在軸的正半軸,點(diǎn)在直線上,且滿足,. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(Ⅰ)當(dāng)點(diǎn)在軸上移動(dòng)時(shí),求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程;
(Ⅱ)過的直線與軌跡交于、兩點(diǎn),又過、作軌跡的切線、,當(dāng),求直線的方程.(本小題滿分14分)設(shè)函數(shù)
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若當(dāng)時(shí),不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(3)若關(guān)于的方程在區(qū)間上恰好有兩個(gè)相異的實(shí)根,求實(shí)數(shù)的取值范圍。(本小題滿分14分)
已知,其中是自然常數(shù),
(1)討論時(shí), 的單調(diào)性、極值;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(2)求證:在(1)的條件下,;
(3)是否存在實(shí)數(shù),使的最小值是3,若存在,求出的值;若不存在,說明理由.
(本小題滿分14分)
設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,對(duì)任意的正整數(shù),都有成立,記。
(I)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(II)記,設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,求證:對(duì)任意正整數(shù)都有;
(III)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為。已知正實(shí)數(shù)滿足:對(duì)任意正整數(shù)恒成立,求的最小值。
1
2
3
4
5
6
7
8
2
9
充分不必要
4
①②④
9
10
11
12
13
14
或0
點(diǎn)P在圓內(nèi)
①②③
15.解: (1)因?yàn)楦鹘M的頻率和等于1,故低于50分的頻率為:
所以低于50分的人數(shù)為(人)………………………………………….5分
(2)依題意,成績60及以上的分?jǐn)?shù)所在的第三、四、五、六組(低于50分的為第一組),
頻率和為
所以,抽樣學(xué)生成績的合格率是%.
于是,可以估計(jì)這次考試物理學(xué)科及格率約為%……………………………………9分.
(3)“成績低于50分”及“[50,60)”的人數(shù)分別是6,9。所以從成績不及格的學(xué)生中選兩人,他們成績至少有一個(gè)不低于50分的概率為: ……………14分
16.解:(1),
即,
∴,∴.
∵,∴.………………………………………………………………7分
(2)mn ,
|mn|.
∵,∴,∴.
從而.
∴當(dāng)=1,即時(shí),|mn|取得最小值.
所以,|mn|.………………………………………………………………14分
17.(1)證明:E、P分別為AC、A′C的中點(diǎn),
EP∥A′A,又A′A平面AA′B,EP平面AA′B
∴即EP∥平面A′FB …………………………………………7分
(2) 證明:∵BC⊥AC,EF⊥A′E,EF∥BC
∴BC⊥A′E,∴BC⊥平面A′EC
BC平面A′BC
∴平面A′BC⊥平面A′EC …………………………………………14分
注:直角三角形條件在證這兩問時(shí)多余了,可直接用兩側(cè)面的直角三角形證明即可。
18.解:(1)取弦的中點(diǎn)為M,連結(jié)OM
由平面幾何知識(shí),OM=1
得:,
∵直線過F、B ,∴則 …………………………………………6分
(2)設(shè)弦的中點(diǎn)為M,連結(jié)OM
則
解得
∴ …………………………………………15分
(本題也可以利用特征三角形中的有關(guān)數(shù)據(jù)直接求得)
19.
第(3)問的構(gòu)造法可直接用第二種方法,作差后用代換即可。
20.解:(1)由方程組的解為不符合題設(shè),可證。………3分
(2)假設(shè)存在。
由方程組,得,即…5分
設(shè)(),可證:當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減且;當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減且。
,設(shè),則。………7分
①當(dāng)時(shí),,遞增,故,
于是,在上單調(diào)遞減。
設(shè),則,在上遞增,,即,所以。………9分
②當(dāng)時(shí),,遞減,故,
于是,在上單調(diào)遞減。
,在上遞減,,即,所以
由函數(shù)()的性質(zhì)可知滿足題設(shè)的不存在。………11分
(3)假設(shè)1,,是一個(gè)公差為的等差數(shù)列的第r、s、t項(xiàng),又是一個(gè)等比為等比數(shù)列的第r、s、t項(xiàng)。于是有:,
,
從而有, 所以。
設(shè),同(2)可知滿足題設(shè)的不存在………16分
注:證法太繁,在第二問中,可用來表示,消去可得,則構(gòu)造易得到極值點(diǎn)為。
附加題參考答案
附1.(1)設(shè)M=,則有=,=,
所以且 解得,所以M=.…………………………5分
(2)任取直線l上一點(diǎn)P(x,y)經(jīng)矩陣M變換后為點(diǎn)P’(x’,y’).
因?yàn)?sub>,所以又m:,
所以直線l的方程(x+2y)-(3x+4y)=4,即x+y+2=0.………………………………10分
附2.解:以有點(diǎn)為原點(diǎn),極軸為軸正半軸,建立平面直角坐標(biāo)系,兩坐標(biāo)系中取相同的長度單位.
(1),,由得.
所以.
即為圓的直角坐標(biāo)方程.
同理為圓的直角坐標(biāo)方程. ……………………………………6分
(2)由
相減得過交點(diǎn)的直線的直角坐標(biāo)方程為. …………………………10分
附3.(1)設(shè)P(x,y),根據(jù)題意,得.
化簡(jiǎn),得.………………………………………………………………5分
(2).……………………………………10分
附4.(1)記事件A為“任取兩張卡片,將卡片上的函數(shù)相加得到的函數(shù)是奇函數(shù)”,由題意知 ………………………………4分
(2)ξ可取1,2,3,4. ,
;………………8分
故ξ的分布列為
ξ
1
2
3
4
P
答:ξ的數(shù)學(xué)期望為 …………10分
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