D.若.有可能不存在實數(shù)使得,題型3:二分法的概念 查看更多

 

題目列表(包括答案和解析)

若函數(shù)在區(qū)間上的圖象為連續(xù)不斷的一條曲線,則下列說法正確的是(    )

A.若,不存在實數(shù)使得;

B.若,存在且只存在一個實數(shù)使得

C.若,有可能存在實數(shù)使得;

D.若,有可能不存在實數(shù)使得;

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若函數(shù)在區(qū)間上的圖象為連續(xù)不斷的一條曲線,

則下列說法正確的是(    )

A.若,不存在實數(shù)使得

B.若,存在且只存在一個實數(shù)使得;

C.若,有可能存在實數(shù)使得

D.若,有可能不存在實數(shù)使得;

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若函數(shù)在區(qū)間上的圖象為連續(xù)不斷的一條曲線,
則下列說法正確的是(   )
A.若,不存在實數(shù)使得;
B.若,存在且只存在一個實數(shù)使得;
C.若,有可能存在實數(shù)使得;
D.若,有可能不存在實數(shù)使得;

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!咳艉瘮(shù)在區(qū)間上的圖象為連續(xù)不斷的一條曲線,

則下列說法正確的是(    )

A.若,不存在實數(shù)使得;

B.若,存在且只存在一個實數(shù)使得;

C.若,有可能存在實數(shù)使得;

D.若,有可能不存在實數(shù)使得;

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若函數(shù)在區(qū)間[a,b]上的圖象為連續(xù)不斷的一條曲線,則下列說法正確的是(    )

A.若,不存在實數(shù)使得;

B.若,存在且只存在一個實數(shù)使得;            

C.若,有可能存在實數(shù)使得;  

D.若,有可能不存在實數(shù)使得

    第Ⅱ卷(非選擇題 共90分)

 

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                           2008年7月

【課前預習】

答案: 1、;  2、B.試題分析,可求得:。易知函數(shù)的零點所在區(qū)間為。

 3、;   4、-4。

四.典例解析

題型1:方程的根與函數(shù)零點

例1. 分析:利用函數(shù)零點的存在性定理或圖像進行判斷。

解析:(1)方法一:

。

方法二:

解得,

所以函數(shù)。

(2)∵,

     ∴。

(3)∵,

       ,

     ∴,故存在零點。

評析:函數(shù)的零點存在性問題常用的辦法有三種:一是定理;二是用方程;三是用圖像

 

例2. 解析:(1)方法一令則根據(jù)選擇支可以求得<0;<0;>0.因為<0可得零點在(2,3)內(nèi)選C

方法二:在同一平面直角坐標系中,畫出函數(shù)y=lgx與y=-x+3的圖象(如圖)。它們的交點橫坐標,顯然在區(qū)間(1,3)內(nèi),由此可排除A,D至于選B還是選C,由于畫圖精確性的限制,單憑直觀就比較困難了。實際上這是要比較與2的大小。當x=2時,lgx=lg2,3-x=1。由于lg2<1,因此>2,從而判定∈(2,3),故本題應選C

(2)原方程等價于

構造函數(shù),作出它們的圖像,易知平行于x軸的直線與拋物線的交點情況可得:

①當時,原方程有一解;

②當時,原方程有兩解;

③當時,原方程無解。

點評:圖象法求函數(shù)零點,考查學生的數(shù)形結合思想。本題是通過構造函數(shù)用數(shù)形結合法求方程lgx+x=3解所在的區(qū)間。數(shù)形結合,要在結合方面下功夫。不僅要通過圖象直觀估計,而且還要計算的鄰近兩個函數(shù)值,通過比較其大小進行判斷

題型2:零點存在性定理

例3.解析:(1)函數(shù)f(x)=x-ln(x+m),x∈(-m,+∞)連續(xù),且

當x∈(-m,1-m)時,f (x)<0,f(x)為減函數(shù),f(x)>f(1-m)

當x∈(1-m, +∞)時,f (x)>0,f(x)為增函數(shù),f(x)>f(1-m)

根據(jù)函數(shù)極值判別方法,f(1-m)=1-m為極小值,而且

對x∈(-m, +∞)都有f(x)≥f(1-m)=1-m

故當整數(shù)m≤1時,f(x) ≥1-m≥0

(2)證明:由(I)知,當整數(shù)m>1時,f(1-m)=1-m<0,

函數(shù)f(x)=x-ln(x+m),在 上為連續(xù)減函數(shù).

由所給定理知,存在唯一的

而當整數(shù)m>1時,

類似地,當整數(shù)m>1時,函數(shù)f(x)=x-ln(x+m),在 上為連續(xù)增函數(shù)且 f(1-m)與異號,由所給定理知,存在唯一的

故當m>1時,方程f(x)=0在內(nèi)有兩個實根。

點評:本題以信息給予的形式考察零點的存在性定理。解決該題的解題技巧主要在區(qū)間的放縮和不等式的應用上。

例4. 解析:由零點存在性定理可知選項D不正確;對于選項B,可通過反例“在區(qū)間上滿足,但其存在三個解”推翻;同時選項A可通過反例“在區(qū)間上滿足,但其存在兩個解”;選項D正確,見實例“在區(qū)間上滿足,但其不存在實數(shù)解”。

點評:該問題詳細介紹了零點存在性定理的理論基礎。

題型3:二分法的概念

例5. 解析:如果函數(shù)在某區(qū)間滿足二分法題設,且在區(qū)間內(nèi)存在兩個及以上的實根,二分法只可能求出其中的一個,只要限定了近似解的范圍就可以得到函數(shù)的近似解,二分法的實施滿足零點存在性定理,在區(qū)間內(nèi)一定存在零點,甚至有可能得到函數(shù)的精確零點。

點評:該題深入解析了二分法的思想方法。

 

例6.解析:由四舍五入的原則知道,當時,精度達到。此時差限是0.0005,選項為C。

點評:該題考察了差限的定義,以及它對精度的影響。

題型4:應用“二分法”求函數(shù)的零點和方程的近似解

例7. 解析:原方程即。令,

用計算器做出如下對應值表

x

-2

-1

0

1

2

f(x)

2.5820

3.0530

27918

1.0794

-4.6974

觀察上表,可知零點在(1,2)內(nèi)

取區(qū)間中點=1.5,且,從而,可知零點在(1,1.5)內(nèi);

再取區(qū)間中點=1.25,且,從而,可知零點在(1.25,1.5)內(nèi);

同理取區(qū)間中點=1.375,且,從而,可知零點在(1.25,1.375)內(nèi);

由于區(qū)間(1.25,1.375)內(nèi)任一值精確到0.1后都是1.3。故結果是1.3。

點評:該題系統(tǒng)的講解了二分法求方程近似解的過程,通過本題學會借助精度終止二分法的過程。

例8. 分析:本例除借助計算器或計算機確定方程解所在的大致區(qū)間和解的個數(shù)外,你是否還可以想到有什么方法確定方程的根的個數(shù)?

略解:圖象在閉區(qū)間,上連續(xù)的單調(diào)函數(shù),在,上至多有一個零點。

點評:①第一步確定零點所在的大致區(qū)間,,可利用函數(shù)性質(zhì),也可借助計算機或計算器,但盡量取端點為整數(shù)的區(qū)間,盡量縮短區(qū)間長度,通?纱_定一個長度為1的區(qū)間;

②建議列表樣式如下:

零點所在區(qū)間

中點函數(shù)值

區(qū)間長度

[1,2]

>0

1

[1,1.5]

<0

0.5

[1.25,1.5]

<0

0.25

如此列表的優(yōu)勢:計算步數(shù)明確,區(qū)間長度小于精度時,即為計算的最后一步。

題型5:一元二次方程的根與一元二次函數(shù)的零點

例9. 分析:從二次方程的根分布看二次函數(shù)圖像特征,再根據(jù)圖像特征列出對應的不等式(組)。

解析:(1)設,

,知,

(2)令

,

,∴,∴,

綜上,。

評析:二次方程、二次函數(shù)、二次不等式三者密不可分。

例10.解析:設,則的二根為。

(1)由,可得  ,即,

       兩式相加得,所以,;

(2)由, 可得  。

,所以同號。

,等價于

,

即  

解之得  。

點評:條件實際上給出了的兩個實數(shù)根所在的區(qū)間,因此可以考慮利用上述圖像特征去等價轉化。

【課外作業(yè)】

1. 答案:A,令即可;

2. 答案:B;

3.答案:C,由可得關于對稱,∴,∴,∴,∵,∴。

4、 答案:D, ∵,∴, ∴

5. 答案:C,先求出,根據(jù)單調(diào)性求解;

五.思維總結

1.函數(shù)零點的求法:

①(代數(shù)法)求方程的實數(shù)根;

②(幾何法)對于不能用求根公式的方程,可以將它與函數(shù)的圖象聯(lián)系起來,并利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點。

2.解決二次函數(shù)的零點分布問題要善于結合圖像,從判別式、韋達定理、對稱軸、區(qū)間端點函數(shù)值的正負、二次函數(shù)圖像的開口方向等方面去考慮使結論成立的所有條件。函數(shù)與方程、不等式聯(lián)系密切,聯(lián)系的方法就是數(shù)形結合。

 

 


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