①證明函數(shù)在上是單調(diào)增函數(shù), 【查看更多】

 

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函數(shù)f（x）=－x3+1在R上是否具有單調(diào)性？如果具有單調(diào)性，它在R上是增函數(shù)還是減函數(shù)？證明你的結論.?

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設函數(shù)f(x)＝x2－2－1(－3≤x≤3)．

（1）證明：f(x)是偶函數(shù)；

（2）指出函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間，并說明在各個單調(diào)區(qū)間上f(x)是增函數(shù)還是減函數(shù)；

（3）求函數(shù)的值域．

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.設函數(shù)y=f(x)的定義域為（0，+∞），且對任意的正實數(shù)x, y，均有

f(xy)=f(x)+f(y)恒成立.已知f(2)=1，且當x>1時，f(x)>0。

   （1）求f(1), f()的值；

   （2）試判斷y=f(x)在（0，+∞）上的單調(diào)性，并加以證明；

   （3）一個各項均為正數(shù)的數(shù)列{a??n}滿足f(Sn)=f(an)+f(an+1)－1，n∈N*，其中Sn是數(shù)列{an}的前n項和，求數(shù)列{an}的通項公式；

   （4）在（3）的條件下，是否存在正數(shù)M，使2n·a1·a2…an≥M·.(2a1－1)·(2a2－1)…(2an－1)對于一切n∈N*均成立？若存在，求出M的范圍；若不存在，請說明理由.

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20. 設函數(shù)f（x）＝－ax，其中a＞0.

（Ⅰ）解不等式f（x）≤1；

（Ⅱ）證明：當a≥1時，函數(shù)f（x）在區(qū)間［0，＋∞）上是單調(diào)函數(shù).

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（12分）設函數(shù)f(x) ＝ x2＋bln(x＋1),

（1）若對定義域的任意x，都有f(x)≥f(1)成立，求實數(shù)b的值；

（2）若函數(shù)f(x)在定義域上是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)b的取值范圍；

（3）若b＝－1，證明對任意的正整數(shù)n，不等式都成立；

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2008．11

 

一、填空題

⒈    ⒉     ⒊-i      ⒋     ⒌

⒍       ⒎     ⒏      ⒐    ⒑

⒒14         ⒓      ⒔   ⒕m>

二、解答題

⒖解：(Ⅰ)

             ……（4分）

 ∵函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，

∴，∴，

∴函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為，……（8分）

(Ⅱ)當時，，∴

∴函數(shù)f(x)的值域為……（14分）

⒗解：(Ⅰ) ∵DC⊥平面ABC，EB⊥平面ABC

∴DC//EB，又∵DC平面ABE，EB平面ABE，∴DC∥平面ABE……（4分）

(Ⅱ)∵DC⊥平面ABC，∴DC⊥AF，又∵AF⊥BC，∴AF⊥平面BCDE……（8分）

(Ⅲ)由(2)知AF⊥平面BCDE，∴AF⊥EF，在三角形DEF中，由計算知DF⊥EF，

∴EF⊥平面AFD，又EF平面AFE，∴平面AFD⊥平面AFE．……（14分）

⒘解：根據(jù)題意得，BC=km，BD=12km，CD=12km，∠CAB=75°，

設∠ACD=α，∠CDB=β

在△CDB中，由余弦定理得

，所以

于是…………（7分）

在△ACD中，由正弦定理得

答：此人還得走km到達A城……（14分）

⒙解：(1)  因x=－1是的一個極值點

∴

即 2+b-1=0

∴b= -1，經(jīng)檢驗，適合題意，所以b= -1．……（5分）

(2)  

∴>0

∴ >0

∴x>

∴函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為……（10分）

（3）對時，f(x)>c-4x恒成立

∴即對時，f(x) +4x >c恒成立

令=

==0

∴或（舍）

∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增。

∴在x=時取最小值5-

∴C<5-……………………………………（16分）

⒚解：（Ⅰ）∵為偶函數(shù)，∴，∴，∴

  ∴，∴函數(shù)為奇函數(shù)；……（4分）

（Ⅱ）⑴由得方程有不等實根

     ∴△及得即

      又的對稱軸

      故在（-1，1）上是單調(diào)函數(shù)……………………………………………（10分）

⑵是方程(*)的根，∴

∴，同理

∴

同理

要使，只需即，∴

或即，解集為

故的取值范圍……………………（16分）

⒛（Ⅰ）證明：，

由條件可得，所以……（4分）

 (Ⅱ)解：因為bn+1=(-1)n+1［an+1-3(n-1)+9］=(-1)n+1(an-2n+6)

=(-1)n?（an-3n+9）=-bn

又b1=,所以

當λ＝－6時，bn=0(n∈N+),此時｛bn｝不是等比數(shù)列，

當λ≠－6時，b1=≠0,由上可知bn≠0，∴(n∈N+).

故當λ≠-6時，數(shù)列｛bn｝是以－(λ＋6)為首項，－為公比的等比數(shù)列.……（10分）

(Ⅲ)由（Ⅱ）知，當λ=-6,bn=0,Sn=0,不滿足題目要求.

∴λ≠-6，故知bn= －(λ+6)?(－)n-1，于是可得

當n為正奇數(shù)時，1<f(n)

∴f(n)的最大值為f(1)=,f(n)的最小值為f(2)= ,

于是，由①式得a<-(λ+6)<

當a<b3a時，由－b－6－3a－6，不存在實數(shù)滿足題目要求；

當b>3a時存在實數(shù)λ，使得對任意正整數(shù)n,都有a<Sn<b,

且λ的取值范圍是（－b－6, －3a－6）…………（16分）


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