又由于∴直線AB的方程為 查看更多

 

題目列表(包括答案和解析)

設(shè)雙曲線C的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,離心率為2,其一個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)是(
1
3
,0)
;又直線l:y=kx+1與雙曲線C相交于不同的A、B兩點(diǎn).
(Ⅰ)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)是否存在實(shí)數(shù)k,使得以線段AB為直徑的圓過(guò)坐標(biāo)的原點(diǎn)?若存在,求出k的值;若不存在,寫出理由.

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如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中.橢圓的右焦點(diǎn)為F,右準(zhǔn)線為l.
(1)求到點(diǎn)F和直線l的距離相等的點(diǎn)G的軌跡方程.
(2)過(guò)點(diǎn)F作直線交橢圓C于點(diǎn)A,B,又直線OA交l于點(diǎn)T,若,求線段AB的長(zhǎng);
(3)已知點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x,y),x≠0,直線OM交直線于點(diǎn)N,且和橢圓C的一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)P,是否存在實(shí)數(shù)λ,使得,若存在,求出實(shí)數(shù)λ;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中.橢圓C:
x2
2
+y2=1
的右焦點(diǎn)為F,右準(zhǔn)線為l.
(1)求到點(diǎn)F和直線l的距離相等的點(diǎn)G的軌跡方程.
(2)過(guò)點(diǎn)F作直線交橢圓C于點(diǎn)A,B,又直線OA交l于點(diǎn)T,若
OT
=2
OA
,求線段AB的長(zhǎng);
(3)已知點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x0,y0),x0≠0,直線OM交直線
x0x
2
+y0y=1
于點(diǎn)N,且和橢圓C的一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)P,是否存在實(shí)數(shù)λ,使得
OP
2
OM
ON
?
,若存在,求出實(shí)數(shù)λ;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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已知橢圓的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,從橢圓上的點(diǎn)P向x軸作垂線,恰好通過(guò)橢圓的左焦點(diǎn),點(diǎn)A、B分別是橢圓的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn),且A
B
=λO
P
,又直線AB與圓x2+y2=
2
3
相切,
(1)求滿足上述條件的橢圓方程;
(2)過(guò)該橢圓的右焦點(diǎn)F2的動(dòng)直線l與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)M、N,在x上是否存在定點(diǎn)Q,使得Q
M
•Q
N
為定值?如果存在,求出定點(diǎn)Q的坐標(biāo);如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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已知函數(shù)f(x)=ex-ax,其中a>0.

(1)若對(duì)一切x∈R,f(x) 1恒成立,求a的取值集合;

(2)在函數(shù)f(x)的圖像上去定點(diǎn)A(x1, f(x1)),B(x2, f(x2))(x1<x2),記直線AB的斜率為k,證明:存在x0∈(x1,x2),使恒成立.

【解析】解:.

當(dāng)時(shí)單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí)單調(diào)遞增,故當(dāng)時(shí),取最小值

于是對(duì)一切恒成立,當(dāng)且僅當(dāng).       、

當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減.

故當(dāng)時(shí),取最大值.因此,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),①式成立.

綜上所述,的取值集合為.

(Ⅱ)由題意知,

,則.當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增.故當(dāng)

從而,

所以因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線,所以存在使成立.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性、最值、不等式恒成立問(wèn)題等,考查運(yùn)算能力,考查分類討論思想、函數(shù)與方程思想等數(shù)學(xué)方法.第一問(wèn)利用導(dǎo)函數(shù)法求出取最小值對(duì)一切x∈R,f(x) 1恒成立轉(zhuǎn)化為從而得出求a的取值集合;第二問(wèn)在假設(shè)存在的情況下進(jìn)行推理,然后把問(wèn)題歸結(jié)為一個(gè)方程是否存在解的問(wèn)題,通過(guò)構(gòu)造函數(shù),研究這個(gè)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行分析判斷.

 

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