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已知橢圓C₁：（a＞b＞0）的離心率為，直線l：y=x+2與以原點為圓心，橢圓C₁的短半軸長為半徑的圓相切．
（I）求橢圓C₁的方程；
（II）直線l₁過橢圓C₁的左焦點F₁，且與x軸垂直，動直線l₂垂直于直線l₂，垂足為點P，線段PF₂的垂直平分線交l₂于點M，求點M的軌跡C₂的方程；
（III）設C₂上的兩個不同點R、S滿足，求的取值范圍（O為坐標原點）．

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一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分. 在每小題給出的四個選項中，選擇一個符合題目要求的選項.

（1）C    （2）B    （3）D    （4）C     （5）B    （6）B   

（7）A    （8）C    （9）B    （10）D   （11）A    （12）B

二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分. 答案填在題中橫線上.

13. 如果一個二面角的兩個面與另一個二面角的兩個面分別垂直，則這兩個二面角相等或互補     假     14.   15. 0     16.

三、解答題：本大題共6小題，共74分. 解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17． 解：（Ⅰ）………2分

………4分

………6分

 （II）

   ……8分

的圖象與x軸正半軸的第一個交點為  ………10分

所以的圖象、y軸的正半軸及x軸的正半軸三者圍成圖形的面積

=    …12分

18． 解：（Ⅰ）設搖獎一次，獲得一、二、三、四、五等獎的事件分別記為.

則其概率分別為……3分

設搖獎一次支出的學習用品相應的款項為，則的分布列為：

1

2

3

4

5

.………6分

若捐款10元者達到1500人次，那么購買學習用品的款項為（元）,

除去購買學習用品的款項后，剩余款項為（元）,

故剩余款項可以幫助該生完成手術治療. ………8分

（II）記事件“學生甲捐款20元獲得價值6元的學習用品”為，則.

即學生甲捐款20元獲得價值6元的學習用品的概率為………12分

19． 以D為原點，以DA、DC、DD₁所在直線分別為x軸，z軸建立空間直角坐標系D―xyz如圖，則有A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），A₁（1，0，2），B₁（1，1，2），C₁（0，1，2），D₁（0，0，2）. …  3分

（Ⅰ）證明：設則有所以，，∴平面；………6分

（II）解：

設為平面的法向量，

于是………8分

同理可以求得平面的一個法向量，………10分

  ∴二面角的余弦值為. ………12分

20． 解：（Ⅰ）對求導數(shù)，得，切點是的切線方程是.…2分

當時，切線過點，即，得;

當時，切線過點，即，得.

所以數(shù)列是首項，公比為的等比數(shù)列，

所以數(shù)列的通項公式為.………4分

（II）當時，數(shù)列的前項和=

同乘以，得=兩式相減，…………8分

得=，

所以=.………12分

21．解：（Ⅰ）由于所以

………2分

令,

當a=2時，

所以2－a≠0.

①     當2－a>0，即a<2時，的變化情況如下表1：

x

0

(0,2－a)

2－a

(2－a,+∞)

－

0

+

0

－

ㄋ

極小值

ㄊ

極大值

ㄋ

此時應有f(0)=0，所以a=0<2；

②當2－a<0，即a>2時，的變化情況如下表2：

x

2－a

(2－a,0)

0

(0,+∞)

－

0

+

0

－

ㄋ

極小值

ㄊ

極大值

ㄋ

此時應有

而

綜上可知，當a=0或4時，的極小值為0. ………6分

（II）若a<2，則由表1可知，應有 也就是

設

由于a<2得

所以方程  無解. ………8分

若a>2，則由表2可知，應有f(0)=3，即a=3. ………10分

綜上可知，當且僅當a=3時，f(x)的極大值為3. ………12分

22. 解：（Ⅰ）由得，；……4分

由直線與圓相切，得，所以，。所以橢圓的方程是.……4分

（II）由條件知，，即動點到定點的距離等于它到直線：的距離，由拋物線的定義得點的軌跡的方程是.  ……8分

（III）由（2）知，設，，所以，.

由，得.因為，化簡得，……10分

（當且僅當，即時等號成立）. ……12分    ，又

所以當，即時，，故的取值范圍是.14分