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題目列表(包括答案和解析)

(本題滿分16分)本題共有3個小題,第1小題滿分4分,第2小題滿分6分,第3小題滿分6分。

     已知函數(shù)的反函數(shù)。定義:若對給定的實數(shù),函數(shù)互為反函數(shù),則稱滿足“和性質(zhì)”;若函數(shù)互為反函數(shù),則稱滿足“積性質(zhì)”。

(1)       判斷函數(shù)是否滿足“1和性質(zhì)”,并說明理由;    

(2)       求所有滿足“2和性質(zhì)”的一次函數(shù);

(3)       設函數(shù)對任何,滿足“積性質(zhì)”。求的表達式。

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(本題滿分16分)本題共有3個小題,第1小題滿分3分,第2小題滿分6分,

第3小題滿分7分.

已知雙曲線

(1)求雙曲線的漸近線方程;

(2)已知點的坐標為.設是雙曲線上的點,是點關(guān)于原點的對稱點.

.求的取值范圍;

(3)已知點的坐標分別為,為雙曲線上在第一象限內(nèi)的點.記為經(jīng)過原點與點的直線,截直線所得線段的長.試將表示為直線的斜率的函數(shù).

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 (本題滿分16分)本題共有3個小題,第1小題滿分4分,第2小題滿分6分、第3小題滿分6分.

,常數(shù),定義運算“”:,定義運算“”: ;對于兩點、,定義.

(1)若,求動點的軌跡;

(2)已知直線與(1)中軌跡交于兩點,若,試求的值;

(3)在(2)中條件下,若直線不過原點且與軸交于點S,與軸交于點T,并且與(1)中軌跡交于不同兩點P、Q , 試求的取值范圍.

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(本題滿分16分)本題共有3個小題,第1小題滿分4分,第2小題滿分6分,第3小題滿分6分.

     已知函數(shù)的反函數(shù).定義:若對給定的實數(shù),函數(shù)互為反函數(shù),則稱滿足“和性質(zhì)”;若函數(shù)互為反函數(shù),則稱滿足“積性質(zhì)”.

(1)       判斷函數(shù)是否滿足“1和性質(zhì)”,并說明理由;

(2)       求所有滿足“2和性質(zhì)”的一次函數(shù);

(3)       設函數(shù)對任何,滿足“積性質(zhì)”.求的表達式.

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(本題滿分16分)本題共有3個小題,第1小題滿分4分,第2小題滿分4分,第3小題滿分8分。

已知雙曲線C的中心是原點,右焦點為F,一條漸近線m:,設過點A的直線l的方向向量。

(1)求雙曲線C的方程;

(2)若過原點的直線,且al的距離為,求K的值;

(3)證明:當時,在雙曲線C的右支上不存在點Q,使之到直線l的距離為。

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一、填空題:

1.   2.    3.     4.12     5.     6.11    7.     8.2009         9.4個    10.①②

11.解: 。因為△ABC的面積為1, ,所以,△ABE的面積為,因為D是AB的中點,所以, △BDE的面積為,因為,所以△BDF的面積為,當且僅當時,取得最大值。

二、選擇題:

12.B    13.C     14.D     15.D

三、解答題:

16.解:(Ⅰ)因為點的坐標為,根據(jù)三角函數(shù)定義可知,,                                            2分

所以                                                4分

(Ⅱ)因為三角形為正三角形,所以,,,                                                     5分

所以

                                               8分

所以

。                                        11分

17.解:方法一:(I)證明:連結(jié)OC,因為所以      

所以,                               2分

中,由已知可得

所以所以,

       所以平面。                                 4分

(II)解:取AC的中點M,連結(jié)OM、ME、OE,由E為BC的中點知

所以直線OE與EM所成的銳角就是異面直線AB與CD所成的角,          5分

中,因為是直角斜邊AC上的中線,所以所以所以異面直線AB與CD所成角的大小為。                                                       8分

(III)解:設點E到平面ACD的距離為,因為

                                                                     9分

中, 所以

所以,

所以點E到平面ACD的距離為。                                   12分

方法二:(I)同方法一。

(II)解:以O為原點,如圖建立直角坐標系,則 ,設的夾角為,則所以異面直線AB與CD所成角的大小為。

(III)解:設平面ACD的法向量為

         

是平面ACD的一個法向量。又 所以點E到平面ACD的距離       。

 18.解:(Ⅰ)由年銷售量為件,按利潤的計算公式,有生產(chǎn)A、B兩產(chǎn)品的年利潤分別為:

         2分

所以                      5分

(Ⅱ)因為所以為增函數(shù),

,所以時,生產(chǎn)A產(chǎn)品有最大利潤為(萬美元)                         7分

,所以時,生產(chǎn)B產(chǎn)品

有最大利潤為460(萬美元)                                        9分

現(xiàn)在我們研究生產(chǎn)哪種產(chǎn)品年利潤最大,為此,我們作差比較:

  11分

所以:當時,投資生產(chǎn)A產(chǎn)品200件可獲得最大年利潤;

     當時,生產(chǎn)A產(chǎn)品與生產(chǎn)B產(chǎn)品均可獲得最大年利潤;

     當時,投資生產(chǎn)B產(chǎn)品100件可獲得最大年利潤。12分

19.解:(1)當時, ,成立,所以是奇函數(shù);

3分

時,,這時所以是非奇非偶函數(shù);                                                            6分

(2)當時,,則

                  9分

時,因為,所以

所以

,所以是區(qū)間 的單調(diào)遞減函數(shù)。 12分

同理可得是區(qū)間 的單調(diào)遞增函數(shù)。                           14分

20.解:(Ⅰ)由拋物線,設,上,且,所以,得,代入,得,

所以。                                                      4分

上,由已知橢圓的半焦距,于是

消去并整理得  , 解得不合題意,舍去).

故橢圓的方程為。                                      7分

(另法:因為上,

所以,所以,以下略。)

(Ⅱ)由,所以點O到直線的距離為

,又,

所以,

。                                      10分

下面視提出問題的質(zhì)量而定:

如問題一:當面積為時,求直線的方程。()      得2分

問題二:當面積取最大值時,求直線的方程。()       得4分

21.解:(1)

2

3

35

100

97

94

3

1

                                                                     4分

(2)由題意知數(shù)列的前34項成首項為100,公差為-3的等差數(shù)列,從第35項開始,奇數(shù)項均為3,偶數(shù)項均為1,                              6分

從而=                     8分

    =。                  10分

(3)當時,因為,                       

 所以                                12分

時,

因為,所以,                      14分

時,

所以。                                                   16分

 

 

 


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