題目列表(包括答案和解析)
已知中心在原點O,焦點F1、F2在x軸上的橢圓E經(jīng)過點C(2,2),且拋物線的焦點為F1.
(Ⅰ)求橢圓E的方程;
(Ⅱ)垂直于OC的直線l與橢圓E交于A、B兩點,當以AB為直徑的圓P與y軸相切時,求直線l的方程和圓P的方程.
【解析】本試題主要考查了橢圓的方程的求解以及直線與橢圓的位置關(guān)系的運用。第一問中,設(shè)出橢圓的方程,然后結(jié)合拋物線的焦點坐標得到,又因為,這樣可知得到。第二問中設(shè)直線l的方程為y=-x+m與橢圓聯(lián)立方程組可以得到
,再利用可以結(jié)合韋達定理求解得到m的值和圓p的方程。
解:(Ⅰ)設(shè)橢圓E的方程為
①………………………………1分
②………………2分
③ 由①、②、③得a2=12,b2=6…………3分
所以橢圓E的方程為…………………………4分
(Ⅱ)依題意,直線OC斜率為1,由此設(shè)直線l的方程為y=-x+m,……………5分
代入橢圓E方程,得…………………………6分
………………………7分
、………………8分
………………………9分
……………………………10分
當m=3時,直線l方程為y=-x+3,此時,x1 +x2=4,圓心為(2,1),半徑為2,
圓P的方程為(x-2)2+(y-1)2=4;………………………………11分
同理,當m=-3時,直線l方程為y=-x-3,
圓P的方程為(x+2)2+(y+1)2=4
已知點(),過點作拋物線的切線,切點分別為、(其中).
(Ⅰ)若,求與的值;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的條件下,若以點為圓心的圓與直線相切,求圓的方程;
(Ⅲ)若直線的方程是,且以點為圓心的圓與直線相切,
求圓面積的最小值.
【解析】本試題主要考查了拋物線的的方程以及性質(zhì)的運用。直線與圓的位置關(guān)系的運用。
中∵直線與曲線相切,且過點,∴,利用求根公式得到結(jié)論先求直線的方程,再利用點P到直線的距離為半徑,從而得到圓的方程。
(3)∵直線的方程是,,且以點為圓心的圓與直線相切∴點到直線的距離即為圓的半徑,即,借助于函數(shù)的性質(zhì)圓面積的最小值
(Ⅰ)由可得,. ------1分
∵直線與曲線相切,且過點,∴,即,
∴,或, --------------------3分
同理可得:,或----------------4分
∵,∴,. -----------------5分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,,則的斜率,
∴直線的方程為:,又,
∴,即. -----------------7分
∵點到直線的距離即為圓的半徑,即,--------------8分
故圓的面積為. --------------------9分
(Ⅲ)∵直線的方程是,,且以點為圓心的圓與直線相切∴點到直線的距離即為圓的半徑,即, ………10分
∴
,
當且僅當,即,時取等號.
故圓面積的最小值.
如圖,已知直線()與拋物線:和圓:都相切,是的焦點.
(Ⅰ)求與的值;
(Ⅱ)設(shè)是上的一動點,以為切點作拋物線的切線,直線交軸于點,以、為鄰邊作平行四邊形,證明:點在一條定直線上;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,記點所在的定直線為, 直線與軸交點為,連接交拋物線于、兩點,求△的面積的取值范圍.
【解析】第一問中利用圓: 的圓心為,半徑.由題設(shè)圓心到直線的距離.
即,解得(舍去)
設(shè)與拋物線的相切點為,又,得,.
代入直線方程得:,∴ 所以,
第二問中,由(Ⅰ)知拋物線方程為,焦點. ………………(2分)
設(shè),由(Ⅰ)知以為切點的切線的方程為.
令,得切線交軸的點坐標為 所以,, ∵四邊形FAMB是以FA、FB為鄰邊作平行四邊形
∴ 因為是定點,所以點在定直線
第三問中,設(shè)直線,代入得結(jié)合韋達定理得到。
解:(Ⅰ)由已知,圓: 的圓心為,半徑.由題設(shè)圓心到直線的距離.
即,解得(舍去). …………………(2分)
設(shè)與拋物線的相切點為,又,得,.
代入直線方程得:,∴ 所以,. ……(2分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知拋物線方程為,焦點. ………………(2分)
設(shè),由(Ⅰ)知以為切點的切線的方程為.
令,得切線交軸的點坐標為 所以,, ∵四邊形FAMB是以FA、FB為鄰邊作平行四邊形,
∴ 因為是定點,所以點在定直線上.…(2分)
(Ⅲ)設(shè)直線,代入得, ……)得, …………………………… (2分)
,
.△的面積范圍是
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